நிலைத் திசையன்

வடிவவியலில், நிலைத் திசையன் அல்லது நிலைக் காவி (position, position vector) என்பது இடவெளியிலுள்ள ஒரு புள்ளி P இன், ஏதேனுமொரு ஆதிப்புள்ளி O ஐப் பொறுத்த அமைவைக் குறிக்கும் ஒரு திசையன் ஆகும். இடத் திசையன் (location vector) அல்லது ஆரைத் திசையன் (radius vector) என்றும் இத்திசையன் அழைக்கப்படுகிறது. இதன் வழக்கமான குறியீடு x, r, அல்லது s.

O இலிருந்து P வரையிலான நேர்கோட்டுத் தொலைவை நிலைத் திசையன் குறிக்கிறது:^[1]

\mathbf {r} ={\overrightarrow {OP}}.

வகையீட்டு வடிவவியல், இயந்திரவியல் இரண்டிலும் நிலைத் திசையன் பெரும்பாலாகவும், திசையன் நுண்கணிதத்தில் சில இடங்களிலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

இரு பரிமாணம் அல்லது முப்பரிமாண வெளிகளில் பெரும்பான்மை பயன்கொண்டுள்ள இதனை எந்தப் பரிமாணத்திலும் அமையும் யூக்ளிடிய வெளிகளுக்குப் பொதுமைப்படுத்தலாம்.^[2]

வரையறை

முப்பரிமாணத்தில்

நிலைத்திசையன் திசையிலி t ஆல் அளபுருவாக்கப்பட்ட நிலைத்திசையன் r. r = a இல் சிவப்புக் கோடு வளகோட்டிற்குத் தொடுகோடாகவும் நீலநிறத் தளம் வளைகோட்டிற்கு செங்குத்தாகவும் உள்ளது.

முப்பரிமாண வெளியில், எந்த ஆள்கூற்று முறைமையின் மூன்று ஆள்கூறுகளையும், அவற்றின் அடுக்களத் திசையன்களையும் கொண்டு வெளியில் அமைந்த ஒரு புள்ளியின் அமைவிடத்தை வரையறுக்கலாம். பொதுவாக காட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமையும் சில சமயங்களில் கோள ஆள்கூற்று முறைமை அல்லது உருளை ஆள்கூற்று முறைமைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

{\begin{aligned}\mathbf {r} (t)&\equiv \mathbf {r} \left(x,y,z\right)\equiv x(t)\mathbf {\hat {e}} _{x}+y(t)\mathbf {\hat {e}} _{y}+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z}\\&\equiv \mathbf {r} \left(r,\theta ,\phi \right)\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}(\theta (t),\phi (t))\\&\equiv \mathbf {r} \left(r,\theta ,z\right)\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}(\theta (t))+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z}\\&\,\!\cdots \\\end{aligned}}

இதில், t என்பது செவ்வகச் சமச்சீர்மை அல்லது வட்டச் சமச்சீர்மையைப் பொறுத்த துணையலகு. மூன்றுவிதமான ஆள்கூற்று முறைமைகளையும் அவற்றுக்குரிய அடுக்களத் திசையன்களையும் கொண்டு பெறப்பட்ட மேலுள்ள வரையறைகள் மூன்றும் ஒரே புள்ளியின் நிலைத் திசையனைத் தருகின்றன. தொடர்ம விசையியல், பொதுச் சார்புக் கோட்பாடுகளில் வளைகோட்டு ஆட்கூறுகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

n பரிமாணம்

நேரியல் இயற்கணிதமுறைப்படி ஒரு n-பரிமாண நிலைத் திசையனைஅடுக்களத் திசையன்களின் நேரியியல் சேர்வாக எழுதலாம்:^[3]^[4]

\mathbf {r} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}=x_{1}\mathbf {e} _{1}+x_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots x_{n}\mathbf {e} _{n}

திசையன் வெளியிலுள்ள நிலைத் திசையன்களக் கூட்டவும், திசையிலிப் பெருக்கல் மூலமாக அவற்றின் நீளங்களை மாற்றியமைக்கவும் முடியும் என்பதால், அனைத்து நிலைத் திசையன்களின் கணம் ஒரு நிலை வெளியை (position space) (நிலைத் திசையன்களை உறுப்புகளாகக் கொண்ட திசையன் வெளி) உருவாக்குகிறது.

இந்த நிலைவெளியின் பரிமாணம் n ((R) = n). ei அடுக்களத் திசையன்களைப் பொறுத்து r திசையனின் ஆள்கூறுகள் xi.

ஒவ்வொரு ஆள்கூறு x_i யையும் அளபுவாக்கம் செய்யலாம். ஒரு அளபுரு x_i(t)யானது ஒரு பரிமாண வளைபாதையையும், இரு அளபுருக்கள் x_i(t₁, t₂)யானது இருபரிமாண வளைபரப்பையும், மூன்று அளபுருக்கள் x_i(t₁, t₂, t₃)யானது முப்பரிமாண வெளியின் கனவளவையும்,....தருகின்றன.

அடுக்களத் திசையன் களம் B = {e₁, e₂ ... e_n} இன் நேரியல் அளாவல் (linear span), நிலை வெளி R க்குச் சமமாகும் (span(B) = R).

வகைக்கெழுக்கள்

ஒரு துகளின் இயந்திரவியல் அளவுருக்கள்: பொருண்மை m, நிலைத்திசையன் r, திசைவேகம் v, முடுக்கம் a

நேரம் t இன் சார்பாக அமையும் நிலைத் திசையன் r இன் வகைக்கெழுக்களை t ஐப் பொறுத்து கணக்கிடலாம். இயங்குவியல், கட்டுப்பாட்டியல், பொறியியல், இன்னும் பிற அறிவியல்களில் இந்த வகைக்கெழுக்கள் பயன்பாடு கொண்டுள்ளன.

திசைவேகம்: $\mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}$

இதில் dr என்பது நுண்ணளவிலான சிறிய இடப்பெயர்ச்சி.

முடுக்கம்: $\mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}$

திடுக்கம்: $\mathbf {j} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {a} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {v} }{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{3}}}$

இயக்கவியலில், நிலைத்திசையனின் முதல், இரண்டாவது, மூன்றாவது வகைக்கெழுக்கள் மூன்றும் முறையே திசைவேகம், முடுக்கம், திடுக்கம் என பயன்படுத்தப்படுகின்றன.^[5]

இதன் நீட்டிப்பாக நிலைத் திசையனின் உயர் வகைக்கெழுக்களைக் காணலாம். இடப்பெயர்ச்சிச் சார்பின் தோராயங்களை மேம்படுத்த இந்த உயர் வகைக்கெழுக்கள் குறித்த விவரங்கள் உதவும். மேலும் இடப்பெயர்ச்சி சார்பினை ஒரு முடிவிலாத் தொடரின் கூட்டுத்தொகையாக எழுதுவதற்கும் இவை பயன்படுகின்றன. இடப்பெயர்ச்சிச் சார்பின் முடிவிலாத் தொடரின் கூட்டுத்தொகை வடிவம் பொறியலிலும் இயற்பியலிலும் பல நுட்பத் தீர்வுகளுக்கு உதவுகிறது.

இடப்பெயர்ச்சிச் திசையனுடன் தொடர்பு

வெளியிலமைந்த புள்ளிகளை ஒரு குறிப்பிட்ட திசையில் குறிப்பிட்ட தூரத்திற்குச் சீராக நகர்த்தும் செயலாக இடப்பெயர்ச்சியை வரையறுக்கலாம். எனவே இடப்பெயர்ச்சித் திசையன்களின் கூட்டல், இந்த வகையான செயல்களின் தொகுப்பாகவும், திசையிலிப் பெருக்கல் மூலம் தூரங்களை அளவீடு செய்வதாகவும் அமையும். இதன்படி வெளியில் அமைந்த ஒரு புள்ளியின் நிலைத் திசையனை, தரப்பட்ட ஆதிப்புள்ளியை அப்புள்ளிக்கு நகர்த்தும் இடப்பெயர்ச்சித் திசையனாகிறது. நிலைத்திசையன்கள் வெளியின் ஆதிப்புள்ளியின் தேர்வையும், இடப்பெயர்ச்சித் திசையனானது தொடக்கப்புள்ளித் தேர்வையும் சார்ந்துள்ளன.

குறிப்புகள்

↑ H.D. Young, R.A. Freedman (2008). University Physics (12th ed.). Addison-Wesley (Pearson International). ISBN 0-321-50130-6.
↑ Keller, F. J, Gettys, W. E. et al. (1993), p 28–29
↑ Riley, K.F.; Hobson, M.P.; Bence, S.J. (2010). Mathematical methods for physics and engineering. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.
↑ Lipschutz, S.; Lipson, M. (2009). Linear Algebra. McGraw Hill. ISBN 978-0-07-154352-1.
↑ Stewart, James (2001). "§2.8 - The Derivative As A Function". Calculus (2nd ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-37718-1.

மேற்கோள்கள்

Keller, F. J, Gettys, W. E. et al. (1993). "Physics: Classical and modern" 2nd ed. McGraw Hill Publishing

[1] H.D. Young, R.A. Freedman (2008). University Physics (12th ed.). Addison-Wesley (Pearson International). ISBN 0-321-50130-6.

[phys_keller-2] Keller, F. J, Gettys, W. E. et al. (1993), p 28–29

[3] Riley, K.F.; Hobson, M.P.; Bence, S.J. (2010). Mathematical methods for physics and engineering. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.

[4] Lipschutz, S.; Lipson, M. (2009). Linear Algebra. McGraw Hill. ISBN 978-0-07-154352-1.

[stewart-5] Stewart, James (2001). "§2.8 - The Derivative As A Function". Calculus (2nd ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-37718-1.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]