எண் கோட்பாட்டில் , ஒரு முழு எண் n இன் p -வழி மதிப்பீடுp -வழி வரிசைn ஐ வகுக்கும் ஒரு பகாஎண் p இன் மிக உயர்ந்த அடுக்கு ஆகும். இது,
ν
p
(
n
)
{\displaystyle \nu _{p}(n)}
ν
p
(
n
)
{\displaystyle \nu _{p}(n)}
n
{\displaystyle n}
p
{\displaystyle p}
p -வழி மதிப்பீடு என்பது ஒரு மதிப்பிடல் முறையாக இருப்பதுடன் வழக்கமான தனி மதிப்பு காண்பதற்கு ஒத்தமுறையாகவும் அமைகிறது. விகிதமுறு எண்களைத் தனி மதிப்பு கொண்டு முழுமையாக்கம் செய்ய மெய்யெண்கள்
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
p
{\displaystyle p}
p
{\displaystyle p}
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
இயல் எண்களை அவற்றின் 2-வழியான மதிப்பீட்டின் பரவல்; ஒத்த இரண்டின் அடுக்குகள் தசமத்தில் குறிக்கப்பட்டுள்ளன. பூச்சியம், முடிவிலா மதிப்பீடைக் கொண்டுள்ளது. [ தொகு ] p ஒரு பகா எண்.
ஒரு முழு எண்
n
{\displaystyle n}
p -வழி மதிப்பீடு
ν
p
(
n
)
=
{
m
a
x
{
k
∈
N
:
p
k
∣
n
}
if
n
≠
0
∞
if
n
=
0
,
{\displaystyle \nu _{p}(n)={\begin{cases}\mathrm {max} \{k\in \mathbb {N} :p^{k}\mid n\}&{\text{if }}n\neq 0\\\infty &{\text{if }}n=0,\end{cases}}}
இங்கு
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
இயல் எண்களின் கணத்தைக் குறிக்கிறது. மற்றும்
m
∣
n
{\displaystyle m\mid n}
n
{\displaystyle n}
m
{\displaystyle m}
வகுக்கும் தன்மையைக் குறிக்கிறது.
ν
p
{\displaystyle \nu _{p}}
[ 1]
ν
p
:
Z
→
N
∪
{
∞
}
{\displaystyle \nu _{p}\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {N} \cup \{\infty \}}
எடுத்துக்காட்டாக:
ν
2
(
−
12
)
=
2
{\displaystyle \nu _{2}(-12)=2}
ν
3
(
−
12
)
=
1
{\displaystyle \nu _{3}(-12)=1}
ν
5
(
−
12
)
=
0
{\displaystyle \nu _{5}(-12)=0}
|
−
12
|
=
12
=
2
2
⋅
3
1
⋅
5
0
{\displaystyle |{-12}|=12=2^{2}\cdot 3^{1}\cdot 5^{0}}
p
k
∥
n
{\displaystyle p^{k}\parallel n}
k
=
ν
p
(
n
)
{\displaystyle k=\nu _{p}(n)}
n
{\displaystyle n}
ν
p
(
n
)
≤
log
p
n
{\displaystyle \nu _{p}(n)\leq \log _{p}n}
இது,
n
≥
p
ν
p
(
n
)
{\displaystyle n\geq p^{\nu _{p}(n)}}
p -வழி மதிப்பீட்டை கீழ்வரும் சார்பாக விகிதமுறு எண்களுக்கும் நீட்டிக்க முடியும்:
ν
p
:
Q
→
Z
∪
{
∞
}
{\displaystyle \nu _{p}:\mathbb {Q} \to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}}
[ 2] [ 3]
ν
p
(
r
s
)
=
ν
p
(
r
)
−
ν
p
(
s
)
.
{\displaystyle \nu _{p}\left({\frac {r}{s}}\right)=\nu _{p}(r)-\nu _{p}(s).}
எடுத்துக்காட்டாக,
ν
2
(
9
8
)
=
−
3
{\displaystyle \nu _{2}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=-3}
ν
3
(
9
8
)
=
2
{\displaystyle \nu _{3}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=2}
9
8
=
2
−
3
⋅
3
2
{\displaystyle {\tfrac {9}{8}}=2^{-3}\cdot 3^{2}}
சில பண்புகள்:
ν
p
(
r
⋅
s
)
=
ν
p
(
r
)
+
ν
p
(
s
)
{\displaystyle \nu _{p}(r\cdot s)=\nu _{p}(r)+\nu _{p}(s)}
ν
p
(
r
+
s
)
≥
min
{
ν
p
(
r
)
,
ν
p
(
s
)
}
{\displaystyle \nu _{p}(r+s)\geq \min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}}
மேலும்,
ν
p
(
r
)
≠
ν
p
(
s
)
{\displaystyle \nu _{p}(r)\neq \nu _{p}(s)}
ν
p
(
r
+
s
)
=
min
{
ν
p
(
r
)
,
ν
p
(
s
)
}
{\displaystyle \nu _{p}(r+s)=\min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}}
விகிதமுறு எண்களின் கணம்
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
p -வழி தனிமதிப்பு என்பது பின்வரும் சார்பாக அமையும்:
|
⋅
|
p
:
Q
→
R
≥
0
{\displaystyle |\cdot |_{p}\colon \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}}
|
r
|
p
=
p
−
ν
p
(
r
)
.
{\displaystyle |r|_{p}=p^{-\nu _{p}(r)}.}
இதன் மூலம்,
p
{\displaystyle p}
|
0
|
p
=
p
−
∞
=
0
{\displaystyle |0|_{p}=p^{-\infty }=0}
எடுத்துக்காட்டாக,
|
−
12
|
2
=
2
−
2
=
1
4
{\displaystyle |{-12}|_{2}=2^{-2}={\tfrac {1}{4}}}
|
9
8
|
2
=
2
−
(
−
3
)
=
8.
{\displaystyle {\bigl |}{\tfrac {9}{8}}{\bigr |}_{2}=2^{-(-3)}=8.}
p -வழி தனி மதிப்பு பின்வரும் பண்புகளை நிறைவு செய்கிறது.
எதிர்மமற்றதன்மை
|
r
|
p
≥
0
{\displaystyle |r|_{p}\geq 0}
நேர்ம-வரைவுத்தன்மை
|
r
|
p
=
0
⟺
r
=
0
{\displaystyle |r|_{p}=0\iff r=0}
பெருக்கல் தன்மை
|
r
s
|
p
=
|
r
|
p
|
s
|
p
{\displaystyle |rs|_{p}=|r|_{p}|s|_{p}}
ஆர்க்கிமீடியதற்றதன்மை
|
r
+
s
|
p
≤
max
(
|
r
|
p
,
|
s
|
p
)
{\displaystyle |r+s|_{p}\leq \max \left(|r|_{p},|s|_{p}\right)}
↑ Ireland, K.; Rosen, M. (2000). A Classical Introduction to Modern Number Theory . New York: Springer-Verlag. p. 3. ↑ with the usual order relation, namely
∞
>
n
{\displaystyle \infty >n}
∞
+
n
=
n
+
∞
=
∞
{\displaystyle \infty +n=n+\infty =\infty }
↑ Khrennikov, A.; Nilsson, M. (2004). p -adic Deterministic and Random Dynamics
