அடுக்கேற்றம்
10 அடிமானம், |
e அடிமானம், |
2 அடிமானம், |
12 இன் அடிமானம். |
அடுக்கேற்றம் (Exponentiation) என்பது ஒரு கணிதச் செயல். இதை bn என்று குறிப்பது வழக்கம். இதில், b என்பதை அடிமானம் அல்லது அடி எனவும், n ஐ அடுக்கு அல்லது படி எனவும் அழைப்பர். n நேர் முழு எண்ணாக இருக்கும்போது, அடுக்கேற்றம், b ஐ n தடவைகள் தொடர்ச்சியாகப் பெருக்குவதாக இருக்கும்.[1]
பொதுவாக அடுக்கானது, அடிமான எண்ணின் வலப்பக்கத்தில் மேலெழுத்தாகக் குறிக்கப்படும். bn என்னும் அடுக்கேற்றத்தை b இன் n ஆவது அடுக்கு என்றோ, b இன் n ஆம் படி என்றோ வாசிப்பது வழக்கம்.[1][2][3] சில இடங்களில் சில அடுக்கேற்றங்கள் அவற்றுக்கே உரிய தனியான சொற்களால் குறிப்பிடப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக b இன் அடுக்கு இரண்டு (b2) என்பது b இன் வர்க்கம் எனவும், b இன் அடுக்கு 3 (b3) என்பது b இன் கனம் எனவும் குறிக்கப்படுகிறது.
- b1 = b
- m, n இரு நேர்ம எண்களெனில்,
- bn ⋅ bm = bn+m.
இப்பண்பினை நேர்மமில்லா முழு எண்களுக்கும் நீட்டிக்கக் கீழுள்ள முடிவுகள் வரையறுக்கப்படுகின்றன:
- b0 = 1
- b−n = 1bn (n நேர்ம எண்; b பூச்சியமற்ற எண்) குறிப்பாக,
- b−1 = 1b (b இன் பெருக்கல் நேர்மாறு).
மெய்யெண் மற்றும் சிக்கலெண் அடுக்குகளுக்கும் அடுக்கேற்றத்தை நீட்டிக்கலாம். முழு எண் அடுக்கேற்றமானது அணிகள் உட்பட பல இயற்கணித அமைப்புகளுக்கு வரையறுக்கப்படுகிறது. பொருளியல், உயிரியல், வேதியியல், இயற்பியல், கணினியியல் போன்ற பலதுறைகளில் அடுக்கேற்றம் பயன்படுகிறது.
சொல்லியல்
[தொகு]b அலகு பக்க நீளங்கொண்ட சதுரத்தின் பரப்பளவு b2 ஆகும். எனவே b2 = b ⋅ b என்பது " b இன் வர்க்கம் என அழைக்கப்படுகிறது. இதேபோல b பக்க நீளங்கொண்ட கனசதுரத்தின் கனவளவு b3 என்பதால் b3 = b ⋅ b ⋅ b ஆனது " b இன் கனம்" என அழைக்கப்படுகிறது.
அடுக்கு ஒரு இயல் எண்ணாக இருக்கும்போது அது, அடி எண்ணை மீண்டும் மீண்டும் எத்தனை முறை பெருக்கவேண்டும் என்பதைக் குறிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக,
- 35 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 243.
35 என்பது "3 இன் அடுக்கு 5" அல்லது 3 இன் 5 ஆம் அடுக்கு என வாசிக்கப்படுகிறது. பொதுவாக bn என்பதுதை "b இன் n ஆம் அடுக்கு" என வாசிக்க வேண்டும்.
முழு எண் அடுக்குகள்
[தொகு]முழு எண் அடுக்குகளுடைய அடுக்கேற்றச் செயல் எண்கணிதச் செயல்களைக் கொண்டு வரையறுக்கப்படுகிறது.
நேர்ம அடுக்குகள்
[தொகு]- மற்றும் ஆகிய இரு அடிப்படை முடிவுகளைக்கொண்டு நேர்ம முழுவெண் அடுக்கேற்றம் வரையறுக்கப்படுகிறது[4]. மேலும் பெருக்கலின் சேர்ப்புப் பண்பின்படி கீழ்வரும் முடிவு பெறப்படுகிறது:
m, n இரு நேர்ம முழுவெண்களெனில்,
பூச்சிய அடுக்கு
[தொகு]பூச்சியமற்ற எந்தவொரு முழுஎண்ணையும் அடுக்கு 0 க்கு உயர்த்தும்போது அதன் மதிப்பு 1 ஆகிறது:[1][5]
எதிர்ம அடுக்குகள்
[தொகு]b பூச்சியமற்றது எனில் கீழ்வரும் முற்றொருமை உண்மையாகும்:
- (n ஒரு முழுவெண்).[1]
பூச்சியத்தை எதிர்ம அடுக்குக்கு உயர்த்துவது வரையறுக்கப்படவில்லை, சில சூழல்களில் அதன் மதிப்பு முடிவிலியாகக் (∞) கருதப்படுகிறது. இந்த முற்றொருமையைப் பின்னுள்ளவாறு வருவிக்கலாம்.
b பூச்சிய மதிப்பற்றது; n ஒரு நேர்ம முழு எண் எனில் கிடைக்கும் மீள்வரு தொடர்பு:
இதனை மாற்றியெழுத:
எந்தவொரு பூச்சியமற்ற b மற்றும் முழுவெண் n இரண்டுக்கும் இம்மீள்வரும் தொடர்பை உண்மையானதாக வரையறுக்க:
முற்றொருமைகளும் பண்புகளும்
[தொகு]அடி எண் பூச்சியமற்றதாக இருக்கும்பொழுது எந்தவொரு முழுவெண் அடுக்கிற்கும் கீழுள்ள முற்றொருமைகள் பொருந்தும்:[1]
- அடுக்கேற்றச் செயல் பரிமாற்றுத்தன்மை கொண்டதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, :23 = 8 ≠ 32 = 9.
- சேர்ப்புப் பண்பு கிடையாது. எடுத்துக்காட்டு:
- (23)4 = 84 = 4096
- 2(34) = 281 = 2417851639229258349412352.
- அடுக்கேற்றத்தில் அடைப்புக்குறிகள் தரப்படாமல் இருந்தால், மேலொட்டுக்களில் செயலியை அமல்படுத்தும் வரிசை முறை கீழிலிருந்து மேலாக (இடது சேர்ப்பு) இல்லாமல் மேலிருந்து கீழாக ( வலது- சேர்ப்பு) அமையும்.[6]
அதாவது:
இது இலிருந்து வேறுபட்ட ஒன்றாகும்.
குறிப்புகள்
[தொகு]- ↑ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 Nykamp, Duane. "Basic rules for exponentiation". Math Insight. பார்க்கப்பட்ட நாள் August 27, 2020.
- ↑ "Compendium of Mathematical Symbols". Math Vault (in அமெரிக்க ஆங்கிலம்). 2020-03-01. பார்க்கப்பட்ட நாள் 2020-08-27.
- ↑ Weisstein, Eric W. "Power". mathworld.wolfram.com (in ஆங்கிலம்). பார்க்கப்பட்ட நாள் 2020-08-27.
- ↑ Hodge, Jonathan K.; Schlicker, Steven; Sundstorm, Ted (2014). Abstract Algebra: an inquiry based approach. CRC Press. p. 94. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-1-4665-6706-1.
- ↑ Achatz, Thomas (2005). Technical Shop Mathematics (3rd ed.). Industrial Press. p. 101. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-8311-3086-2.
- ↑ "A report on primes of the form k · 2n + 1 and on factors of Fermat numbers". Proceedings of the American Mathematical Society (University of California, Berkeley, California, USA) 9 (5): 673–681 [677]. October 1958. doi:10.1090/s0002-9939-1958-0096614-7. http://www.ams.org/journals/proc/1958-009-05/S0002-9939-1958-0096614-7/S0002-9939-1958-0096614-7.pdf. பார்த்த நாள்: 2020-06-28.
- ↑ Bronstein, Ilja Nikolaevič; Semendjajew, Konstantin Adolfovič (1987) [1945]. "2.4.1.1. Definition arithmetischer Ausdrücke" [Definition of arithmetic expressions]. Written at Leipzig, Germany. In Grosche, Günter; Ziegler, Viktor; Ziegler, Dorothea (eds.). Taschenbuch der Mathematik [Pocketbook of mathematics] (in ஜெர்மன்). Vol. 1. Translated by Ziegler, Viktor. Weiß, Jürgen (23 ed.). Thun, Switzerland / Frankfurt am Main, Germany: Verlag Harri Deutsch (and B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig). pp. 115–120, 802. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 3-87144-492-8.
Regel 7: Ist F(A) Teilzeichenreihe eines arithmetischen Ausdrucks oder einer seiner Abkürzungen und F eine Funktionenkonstante und A eine Zahlenvariable oder Zahlenkonstante, so darf F A dafür geschrieben werden. [Darüber hinaus ist noch die Abkürzung Fn(A) für (F(A))n üblich. Dabei kann F sowohl Funktionenkonstante als auch Funktionenvariable sein.]
- ↑ Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel W.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., eds. (2010). NIST Handbook of Mathematical Functions. National Institute of Standards and Technology (NIST), U.S. Department of Commerce, கேம்பிறிட்ஜ் பல்கலைக்கழகப் பதிப்பகம். பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-521-19225-5. MR 2723248.[1] பரணிடப்பட்டது 2013-07-03 at Archive.today
- ↑ Zeidler, Eberhard [in ஜெர்மன்]; Schwarz, Hans Rudolf; Hackbusch, Wolfgang; Luderer, Bernd [in ஜெர்மன்]; Blath, Jochen; Schied, Alexander; Dempe, Stephan; Wanka, Gert; Hromkovič, Juraj; Gottwald, Siegfried (2013) [2012]. Zeidler, Eberhard [in ஜெர்மன்] (ed.). Springer-Handbuch der Mathematik I (in ஜெர்மன்). Vol. I (1 ed.). Berlin / Heidelberg, Germany: Springer Spektrum, Springer Fachmedien Wiesbaden. p. 590. எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.1007/978-3-658-00285-5. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-3-658-00284-8. (xii+635 pages)