வரிசைமாற்ற அணி

கணிதத்தில் வரிசைமாற்ற அணி (permutation matrix) என்பது ஒவ்வொரு நிரை மற்றும் நிரலிலும் ஒரேயொரு உறுப்பு 1 ஆகவும் ஏனைய உறுப்புகள் எல்லாம் 0 ஆகவும் கொண்ட சதுர இரும அணியாகும் (binary matrix). இத்தகைய அணி ( $P$ ) ஒவ்வொன்றும் $m$ உறுப்புகளின் வரிசைமாற்றத்தைக் குறிக்கும். மேலும் மற்றொரு அணி $A$ உடன் பெருக்கப்படும்போது முன்பெருக்கத்தில் ( $PA$ ), $A$ அணியின் நிரைகளின் வரிசைமாற்றமாகவும் பின்பெருக்கத்தில் ( $AP$ ), $A$ அணியின் நிரல்களின் வரிசைமாற்றமாகவும் அமையும்.

வரையறை

m உறுப்புகளின் வரிசைமாற்றம் π என எடுத்துக்கொண்டால்:

\pi :\lbrace 1,\ldots ,m\rbrace \to \lbrace 1,\ldots ,m\rbrace

{\begin{pmatrix}1&2&\cdots &m\\\pi (1)&\pi (2)&\cdots &\pi (m)\end{pmatrix}}

வரிசைமாற்றத்தை, ஒரு வரிசைமாற்ற அணியுடன் இருவழிகளில் இணைக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக m × m முற்றொருமை அணி, $I m$ இன் நிரல்களை $π$ இன் படி வரிசைமாற்றம் செய்யலாம் அல்லது நிரைகளை $π$ இன் படி வரிசைமாற்றம் செய்யலாம்.

I m

இன் நிரல்களை வரிசைமாற்றம் செய்யக்கிடைக்கும் வரிசைமாற்ற அணி ஒரு m × m அணியாக இருக்கும். இந்த அணியின் குறியீடு P_$π$ = (p_ij) எனில்:

ஒவ்வொரு i க்கும், j =

π

(i) எனில் p_ij = 1 ஆகவும், அவ்வாறு இல்லாவிட்டால் p_ij = 0 ஆகவும் இருக்கும்.

அதாவது i ஆவது நிரையில்

π

(i) நிரலில் உள்ள உறுப்பு மட்டும் 1 ஆகவும் மீதமுள்ள உறுப்புகள் எல்லாம் 0 ஆகவும் இருக்கும்.

எனவே வரிசைமாற்ற அணி P_$π$ கீழுள்ளவாறு அமைகிறது:

P_{\pi }={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{\pi (1)}\\\mathbf {e} _{\pi (2)}\\\vdots \\\mathbf {e} _{\pi (m)}\end{bmatrix}},

இதில் செந்தர அடுக்களத் திசையனான

\mathbf {e} _{j}

என்பது m நீளமுள்ள ஒரு நிரை திசையனாகும். மேலும் அதன் j ஆவது இடத்தில் 1 உம் மற்ற இடங்களில் 0 உம் கொண்டிருக்கும்.^[1]

எடுத்துக்காட்டு:

\pi ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&4&2&5&3\end{pmatrix}},

என்ற வரிசைமாற்றத்துக்குரிய வரிசைமாற்ற அணி:

P_{\pi }={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{\pi (1)}\\\mathbf {e} _{\pi (2)}\\\mathbf {e} _{\pi (3)}\\\mathbf {e} _{\pi (4)}\\\mathbf {e} _{\pi (5)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}\\\mathbf {e} _{4}\\\mathbf {e} _{2}\\\mathbf {e} _{5}\\\mathbf {e} _{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&1&0&0\end{bmatrix}}.

முற்றொருமை அணி $I 5$ இன் j ஆவது நிரலானது P_$π$ அணியின் $π$ (j) ஆவது நிரலாக அமைவதைக் காணலாம்.

பண்புகள்

(கட்டுரையின் இப்பிரிவு முழுவதும் வரிசைமாற்ற அணியின் நிரல் உருவகிப்புப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. சில இடங்களில் நிரை உருவகிப்பு பயன்படுத்தப்படும்போது அது குறிப்பிடப்படும்)

$P_{\pi }$ ஆல் நிரல் திசையன் g ஐப் முன்பெருக்கும்போது கிடைக்கும் அத்திசையனின் நிரைகளின் வரிசைமாற்றம்:

P_{\pi }\mathbf {g} ={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{\pi (1)}\\\mathbf {e} _{\pi (2)}\\\vdots \\\mathbf {e} _{\pi (n)}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}g_{1}\\g_{2}\\\vdots \\g_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}g_{\pi (1)}\\g_{\pi (2)}\\\vdots \\g_{\pi (n)}\end{bmatrix}}.

மேலுள்ள முடிவினை மீண்டும் மீண்டும் பயன்படுத்துவதன்மூலம் $M$ ஒரு பொருத்தமான வரிசையுடைய அணியாக இருக்கும்போது, பெருக்கல் அணியான $P_{\pi }M$ ஆனது $M$ இன் நிரைகளின் வரிசைமாற்றமாக அமைவதைக் காணலாம்.

எனினும் ஒவ்வொரு $k$ க்கும்,

P_{\pi }\mathbf {e} _{k}^{\mathsf {T}}=\mathbf {e} _{\pi ^{-1}(k)}^{\mathsf {T}}

என்பதால் நிரைகளின் வரிமாற்றம்

π

⁻¹ ஆகும். (

M

அணியின் இடமாற்று அணி

M^{\mathsf {T}}

)

வரிசைமாற்ற அணிகளெல்லாம் செங்குத்து அணிகள் (i.e., $P_{\pi }P_{\pi }^{\mathsf {T}}=I$ ) என்பதால் அவற்றுக்கு நேர்மாறு அணிகள் உண்டு. அந்நேர்மாறு அணியைக் கீழ்க்காணுமாறு எழுதலாம்:

P_{\pi }^{-1}=P_{\pi ^{-1}}=P_{\pi }^{\mathsf {T}}.

ஒரு நிரை திசையன் h ஐ $P_{\pi }$ ஆல் பெருக்குவதால் அந்நிரை திசையனின் நிரல்களின் வரிசைமாற்றம்:

\mathbf {h} P_{\pi }={\begin{bmatrix}h_{1}\;h_{2}\;\dots \;h_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{\pi (1)}\\\mathbf {e} _{\pi (2)}\\\vdots \\\mathbf {e} _{\pi (n)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}h_{\pi ^{-1}(1)}\;h_{\pi ^{-1}(2)}\;\dots \;h_{\pi ^{-1}(n)}\end{bmatrix}}

மேலுள்ள முடிவினை மீண்டும் மீண்டும் பயன்படுத்துவதன்மூலம் $M$ அணியை வரிசைமாற்ற அணியான $P π$ ஆல் பின்பெருக்கம் செய்தால் $M P π$ ஆனது $M$ இன் நிரல்களின் வரிசைமாற்றமாக அமைவதை காணலாம். மேலும்,

\mathbf {e} _{k}P_{\pi }=\mathbf {e} _{\pi (k)}.

$m$ உறுப்புகளின் இரு வரிசைமாற்றங்கள் $π$ , $σ$ எனில் நிரல் திசையன் g மீது செயற்படும் அவற்றின் வரிசைமாற்ற அணிகள் $P π$ , $P σ$ இரண்டின் தொகுப்பு:

P_{\sigma }P_{\pi }\,\mathbf {g} =P_{\pi \,\circ \,\sigma }\,\mathbf {g} .

$m$ உறுப்புகளின் இரு வரிசைமாற்றங்கள் $π$ , $σ$ எனில் நிரை திசையன் h மீது செயற்படும் அவற்றின் வரிசைமாற்ற அணிகள் $P π$ , $P σ$ இரண்டின் தொகுப்பு:

\mathbf {h} P_{\sigma }P_{\pi }=\mathbf {h} P_{\pi \,\circ \,\sigma }.

\pi \,\circ \,\sigma (k)=\pi \left(\sigma (k)\right).

$π$ வரிசைமாற்றத்துக்குரிய வரிசைமாற்ற அணியின் நிரை உருவகிப்பு $Q_{\pi }$ எனில், $Q_{\pi }=P_{\pi }^{\mathsf {T}}=P_{{\pi }^{-1}}.$ என்பதால் இந்த உருவகிப்புக்கான பண்புகளை வரிசைமாற்ற அணியின் நிரல் உருவகிப்புக்குரிய பண்புகளிலிருந்து பெறலாம்.