மூலைவிட்ட அணி

நேரியல் இயற்கணிதத்தில் மூலைவிட்ட அணி (diagonal matrix) என்பது முதன்மை மூலைவிட்ட உறுப்புகள் தவிர்த்த ஏனைய உறுப்புகளைப் பூச்சியமாகக் கொண்ட அணியாகும். முதன்மை மூலைவிட்ட உறுப்புகள் பூச்சியமாகவோ அல்லது பூச்சியமற்றதாகவோ இருக்கலாம். பொதுவாக ஒரு மூலைவிட்ட அணி சதுர அணியாக இருக்கும்.

D = (d_i,j) என்ற n x n சதுர அணியானது மூலைவிட்ட அணியாக இருந்தால்:

$d_{i,j}=0{\text{ if }}i\neq j\ \forall i,j\in \{1,2,\ldots ,n\}$

எடுத்துக்காட்டு:

${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-2\end{bmatrix}}$

மூலைவிட்ட அணி என்பது செவ்வக மூலைவிட்ட அணியையும் குறிக்கலாம். அதாவது d_i,i உறுப்புகள் தவிர பிற உறுப்புகளைப் பூச்சியமாகக் கொண்ட m x n அணியையும் மூலைவிட்ட அணி எனலாம்.

எடுத்துக்காட்டு:

${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-3\\0&0&0\\\end{bmatrix}}$ அல்லது ${\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&4&0&0&0\\0&0&-3&0&0\end{bmatrix}}$

எனினும் இக்கட்டுரையில் சதுர மூலைவிட்ட அணிகளே கையாளப்படுகின்றன. ஒவ்வொரு சதுர மூலைவிட்ட அணியும் சமச்சீர் அணியாக இருக்கும். மேலும் அதன் உறுப்புகள் மெய்யெண் மற்றும் சிக்கலெண் களங்களிலிருந்து எடுக்கப்பட்டிருந்தால் அந்த மூலைவிட்ட அணி இயல்நிலை அணியாகவும் இருக்கும். மூலைவிட்ட அணியை கீழ் மற்றும் மேல் முக்கோண அணியாக அமையும் அணியாகவும் வரையறுக்கலாம். முற்றொருமை அணியும் (I_n) சதுர சூனிய அணிகளும் மூலைவிட்ட அணிகளாகும். முதலாம் வரிசை அணிகள் எப்பொழுதும் மூலைவிட்ட அணிகளாகும்.

திசையிலி அணி

முதன்மை மூலைவிட்ட உறுப்புகள் அனைத்தும் சமமானதாகக் கொண்ட மூலைவிட்ட அணியானது திசையிலி அணி (scalar matrix) எனப்படும். முற்றொருமை அணி I இன் திசையிலிப் பெருக்கல் λI ஆக ஒரு திசையிலி அணி இருக்கும்.

திசையிலி அணியின் எடுத்துக்காட்டு:

${\begin{bmatrix}\lambda &0&0\\0&\lambda &0\\0&0&\lambda \end{bmatrix}}\equiv \lambda {\boldsymbol {I}}_{3}$

அணிச் செயல்கள்

மூலைவிட்ட அணிகளைக் கூட்டுவதும் பெருக்குவதும் மிகவும் எளியது. ஒரு மூலைவிட்ட அணியின் முதன்மை மூலைவிட்ட உறுப்புகள் (இடப்பக்க மேல்மூலையில் தொடங்கி) a₁, ..., a_n எனில், அவ்வணியை diag(a₁, ..., a_n) என எழுதிக்கொண்டு அணிச் செயல்களை மேற்கொள்ளலாம்.

இரு மூலைவிட்ட அணிகளின் கூட்டல்:

diag(a₁, ..., a_n) + diag(b₁, ..., b_n) = diag(a₁ + b₁, ..., a_n + b_n)

இரு மூலைவிட்ட அணிகளின் பெருக்கல்:

diag(a₁, ..., a_n) · diag(b₁, ..., b_n) = diag(a₁b₁, ..., a_nb_n).

மூலைவிட்ட அணியின் நேர்மாறு: மூலைவிட்ட அணியின் முதன்மை மூலைவிட்ட உறுப்புகள் எல்லாம் பூச்சியமற்றவையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அவ்வணி நேர்மாற்றத்தக்கதாகும்.

மூலைவிட்ட அணி diag(a₁, ..., a_n) இல் a₁, ..., a_n அனைத்தும் பூச்சியமற்றவை எனில் அதன் நேர்மாறு:

diag(a₁, ..., a_n)⁻¹ = diag(a₁⁻¹, ..., a_n⁻¹).

பிற பண்புகள்

• அணிக்கோவை மூலைவிட்ட அணி diag(a₁, ..., a_n) இன் அணிக்கோவையின் மதிப்பு a₁...a_n ஆகும்.
• ஒரு மூலைவிட்ட அணியின் சேர்ப்பு அணியும் ஒரு மூலைவிட்ட அணியாகும்.
• முக்கோண அணியாகவும் இயல்நிலை அணியாகவும் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, ஒரு சதுர அணி மூலைவிட்ட அணியாக இருக்கும்.

மேற்கோள்கள்

• Roger A. Horn and Charles R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-521-30586-1 (hardback), பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-521-38632-2 (paperback).