பாப்பசின் பரப்பளவு தேற்றம்

பாப்பசின் பரப்பளவு தேற்றம் (Pappus's area theorem), ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களின் மீது வரையப்பட்ட மூன்று இணைகரங்களின் பரப்பளவுகளுக்கு இடையேயுள்ள தொடர்பை விளக்குகிறது.இத்தேற்றத்தைக் கண்டுபிடித்தக் கிரேக்கக் கணிதவியலாளர் அலெக்சாந்திரியாவின் பாப்பசுவின் (கிபி 4ஆம் நூற்றாண்டு) பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது. பித்தேகோரசு தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகக் இதனைக் கருதலாம்.

தேற்றம்

ஒரு முக்கோணத்தின் ஏதாவது இரு பக்கங்கள் ஒவ்வொன்றின் மீதும் ஒரு இணைகரம் வரையப்பட்டிருந்தால், அந்த இரு இணைகரங்களின் பரப்பளவுகளின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமமான பரப்பளவு கொண்ட இணைகரத்தை அம்முக்கோணத்தின் மூன்றாவது பக்கத்தின் மீது வரையும் முறையை இத்தேற்றம் தருகிறது.

எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட முக்கோணம்: ABC. அதன் இரு பக்கங்களான AB, AC மீது வரையப்பட்ட இணைகரங்கள் முறையே: ABDE, ACFG . இந்த இணைகரங்களின் நீட்டிக்கப்பட்ட பக்கங்கள் DE, FG இரண்டும் சந்திக்கும் புள்ளி H. கோட்டுத்துண்டு AH -க்கு இணையாகவும் சமநீளமுள்ளவையாக முக்கோணத்தின் மூன்றாவது பக்கம் BC மீது கோட்டுத்துண்டுகள் BL, CM இரண்டும் வரையப்பட்டு L, M புள்ளிகளை இணைக்க, முக்கோணத்தின் மூன்றாவது பக்கத்தின் மீதான இணைகரம் BCML நிறைவுபெறுகிறது. இப்பொழுது இம்மூன்று இணைகரங்களின் பரப்பளவுகள் (பரப்பளவின் குறியீடு: A) கீழ்வரும் முற்றொருமையை நிறைவு செய்கின்றன:

{\text{A}}_{ABDE}+{\text{A}}_{ACFG}={\text{A}}_{BCML}

நிறுவல்

இணைகரங்கள் ABDE, ABUH இரண்டும் சமவளவு அடிப்பக்கநீளமும் உயரமும் கொண்டிருப்பதால் அவற்றின் பரப்பளவுகள் சமம். இதேபோல,

ACFG, ACVH சம பரப்பளவுள்ள இணைகரங்கள்;
ABUH, BLQR சம பரப்பளவுள்ள இணைகரங்கள்;
ACVH, RCMQ சம பரப்பளவுள்ள இணைகரங்கள்.

இந்த முடிவுகளைப் பயன்படுத்த:

{\begin{aligned}{\text{A}}_{ABDE}+{\text{A}}_{ACFG}&={\text{A}}_{ABUH}+{\text{A}}_{ACVH}\\&={\text{A}}_{BLQR}+{\text{A}}_{RCMQ}\\&={\text{A}}_{BCML}\end{aligned}}

பித்தேகோரசு தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தல்

பாப்பசின் தேற்றம், பித்தேகோரசின் தேற்றத்தை இருவழிகளில் பொதுமைப்படுத்துகிறது: பித்தேகோரசின் தேற்றம் செங்கோண முக்கோணங்களுக்கு மட்டுமே உரியதாகவும் சதுரங்களையுமே பயன்படுத்துகிறது.

பாப்பசின் பரப்பளவு தேற்றம் எல்லாவகையான முக்கோணங்களுக்குமானது:

ஏதாவது ஒரு முக்கோணத்தின் இரு பக்கங்கள் ஒவ்வொன்றின் மீதும் ஒரு சதுரம் வரையப்பட்டால் அவ்விரு சதுரங்களின் பரப்பளவுகளின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமமான பரப்பளவு கொண்ட இணைகரம் ஒன்றை முக்கோணத்தின் மூன்றாவது பக்கத்தின்மீது வரையலாம். அந்த இரு பக்கங்களும் செங்கோணத்தின் தாங்கி பக்கங்களாக இருந்தால், மூன்றாவது பக்கத்தின் மீது வரையப்பட்ட இணைகரம் சதுரமாக இருக்கும்.

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் இரு தாங்கி பக்கங்கள் ஒவ்வொன்றின் மீது ஒரு இணைகரம் வரையப்பட்டால் அவ்விரு இணைகரங்களின் பரப்பளவுகளின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமமான பரப்பளவுடன் மூன்றாவது பக்கத்தின் மீது செவ்வகம் ஒன்றை வரையலாம். தாங்கி பக்கங்களின் மீது வரையப்பட்ட இணைகரங்கள் சதுரங்களாக இருக்குமானால் மூன்றாவது பக்கத்தின் மீது அமையும் செவ்வகமும் சதுரமாக இருக்கும்.

மேற்கோள்கள்

Howard Eves: Pappus's Extension of the Pythagorean Theorem.The Mathematics Teacher, Vol. 51, No. 7 (November 1958), pp. 544–546 (JSTOR)
Howard Eves: Great Moments in Mathematics (before 1650). Mathematical Association of America, 1983, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9780883853108, p. 37 (excerpt, p. 37, கூகுள் புத்தகங்களில்)
Eli Maor: The Pythagorean Theorem: A 4,000-year History. Princeton University Press, 2007, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9780691125268, pp. 58–59 (excerpt, p. 58, கூகுள் புத்தகங்களில்)
Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. MAA, 2010, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9780883853481, pp. 77–78 (excerpt, p. 77, கூகுள் புத்தகங்களில்)

வெளியிணைப்புகள்