ஒன்றின் படிமூலம்

சிக்கலெண் தளத்தில் ஒன்றின் ஐந்தாம் படிமூலங்களின் வரைபடம்

ஒரு சிக்கலெண்ணை ஏதேனுமொரு முழு எண் அடுக்குக்கு உயர்த்தும் போது அதன் மதிப்பு 1 ஆக இருக்குமானால் அந்தச் சிக்கலெண்ணானது ஒன்றின் படிமூலம் (root of unity) என அழைக்கப்படுகிறது. சில சமயங்களில் இது டி மாவரின் எண் எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

வரையறை

$z$ ஒரு சிக்கலெண்; $n$ ஒரு முழுஎண் என்க:

$z^{n}=1$ என்ற சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் $z$ ஆனது ”ஒன்றின் $n$ஆம் படிமூலம்” என வரையறுக்கப்படுகிறது.

தொடக்கநிலை மூலம்

$n$ ஐ விடச் சிறிய எந்த முழுஎண் அடுக்கிற்கும் $z$ இன் மதிப்பு எண் 1 இல்லையெனில், $z$ ஆனது ”ஒன்றின் தொடக்கநிலை $n$ஆம் படிமூலம் எனப்படும். அதாவது $z$ ஒன்றின் தொடக்கநிலை $n$ஆம் படிமூலம் எனில்,

$z^{n}=1,$

$z^{k}\neq 1\qquad (k=1,2,3,\dots ,n-1),$ ஆகிய இரு முடிவுகளும் நிறைவு செய்யப்பட வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு:

$i^{8}=1$ என்பது உண்மை; ஆனால்,

$i^{4}=1$ என்பதும் உண்மை என்பதால் $i$ ஆனது ஒன்றின் தொடக்கநிலை எண்படி மூலம் அல்ல; ஒன்றின் தொடக்கநிலை நான்காம் படிமூலமாக இருக்கும்.

சில அடிப்படை முடிவுகள்

• ஒன்றின் ஒவ்வொரு n ஆம் படிமூலமும் ஏதேனுமொரு மதிப்பு a (1 ≤ a ≤ n)க்கு ஒன்றின் தொடக்கநிலை aவதுபடி மூலமாக இருக்கும்.

• ஒன்றின் nஆம் படிமூலம் z; a ≡ b (mod n) எனில் $z^{a}=z^{b}.$

விளக்கம்

சமானம், மாடுலோ n-வரையறைப்படி,

a ≡ b (mod n) என்பதால் a = b + kn (k ஒரு முழுஎண்) என எழுதலாம். இதனைப் பயன்படுத்த:

$z^{a}=z^{b+kn}=z^{b}z^{kn}=z^{b}(z^{n})^{k}=z^{b}1^{k}=z^{b}.$

• ஒன்றின் தொடக்கநிலை nஆம் படிமூலம் z எனில்:

$z^{a}=z^{b}\iff a\equiv b{\pmod {n}}.$

z தொடக்கநிலை படிமூலம் இல்லையெனில்:

$a\equiv b{\pmod {n}}\implies z^{a}=z^{b}.$ என்பது மட்டுமே உண்மையாக இருக்கும்.

• $(z^{k})^{n}=z^{kn}=(z^{n})^{k}=1^{k}=1.$

• ${\frac {1}{z}}=z^{-1}=z^{n-1}={\bar {z}}.$ (இணைச் சிக்கலெண்)

• nஆம் படி பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டிற்கு வெவ்வேறான n தீர்வுகள் மட்டுமே இருக்க முடியும். எனவே ஒன்றின் தொடக்கநிலை மூலம் z எனில் அதன் பின்வரும் அடுக்குகள்,

z , z², … , z^n − 1, zⁿ = z⁰ = 1 ஆகியவை ஒன்றின் nஆம் படிமூலங்களாக இருக்கும்.

ஒன்றின் n ஆம் படிமூலங்கள் காணும் வாய்ப்பாடு

டி மாவரின் வாய்ப்பாட்டில் x = 2π/n எனப் பதிலிட ஒன்றின் தொடக்கநிலை n ஆம் படிமூலம் கிடைக்கிறது:

டி மாவரின் வாய்ப்பாடு

$(\cos x+i\sin x)^{n}=\cos nx+i\sin nx.$ (x மெய்யெண், n முழுஎண்)

இதில் x = 2π/n எனப் பதிலிட,

$\left(\cos {\tfrac {2\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi }{n}}\right)^{n}=\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1,$ எனக் கிடைக்கிறது.

எனவே $\left(\cos {\tfrac {2\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi }{n}}\right)$ ஆனது ஒன்றின் n ஆம் படிமூலம் ஆகும்.

மேலும் $0<k<n.$ எனும்போது,

$\left(\cos {\tfrac {2\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi }{n}}\right)^{k}=\cos {\tfrac {2k\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {2k\pi }{n}}\neq 1$ எனவும் அமைவதால் மேலே தரப்பட்ட ஒன்றின் n ஆம் படிமூலமானது தொடக்கநிலை படிமூலம் என்பதையும் அறியலாம்.

$\cos {\tfrac {2k\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {2k\pi }{n}},\quad (*)$

இந்த வாய்ப்பாடு, k =0, 1, 2, ⋯ , n − 1 மதிப்புகளுக்கு ஒன்றின் n ஆம் படிமூலங்கள் அனைத்தையும் தருகிறது.

வாய்ப்பாட்டில் k இன் மதிப்புகளைப் பதிலிடக் கிடைக்கும் ஒன்றின் n ஆம் படிமூலங்கள்:

$1,$ $\cos {\tfrac {2\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi }{n}},$ $\cos {\tfrac {4\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {4\pi }{n}}$....$\cos {\tfrac {(n-1)2\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {(n-1)2\pi }{n}}$

மேலேயுள்ள வாய்ப்பாட்டில் ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தி ஒன்றின் படிமூலங்களைக் காணும் வாய்ப்பட்டைப் பின்வருமாறு பெறலாம்.

ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு

$e^{ix}=\cos x+i\sin x,$ (x இன் அனைத்து மெய்யெண் மதிப்புகளுக்கும்)

இதனை வாய்ப்பாடு $(*)$ இல் பயன்படுத்தக் கிடைக்கும், ஒன்றின் n ஆம் படிமூலங்கள் காணும் வாய்ப்பாடு:

$\cos {\tfrac {2k\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {2k\pi }{n}}=e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}\qquad 0\leq k<n.$

இவ் வாய்ப்பாட்டில் k/n சுருக்கவியலாப் பின்னமாக, அதாவது k , n இரண்டும் சார்பகா எண்களாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, இந்த மூலம் ஒன்றின் தொடக்கநிலை படிமூலமாக இருக்கும்.

இந்த வாய்ப்பாட்டின்படி ஒன்றின் n ஆம் படிமூலங்கள்:

$1,$ $e^{i{\frac {2\pi }{n}}},$ $e^{i{\frac {4\pi }{n}}},$ $e^{i{\frac {6\pi }{n}}}....$ $e^{i{\frac {2(n-1)\pi }{n}}},$

முடிவுகள்

$\omega =e^{i{\frac {2\pi }{n}}}=\left(\cos {\tfrac {2\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi }{n}}\right)$ எனக் கொண்டால் ஒன்றின் n ஆம் படிமூலங்கள்:

$1,\omega ,{\omega }^{2},{\omega }^{3},{\omega }^{4},....{\omega }^{(n-1)}$

• ${\omega }^{n}=1$
• ஒன்றின் n ஆம் படிமூலங்களின் கூடுதல் 0

$1+\omega +{\omega }^{2}+{\omega }^{3}+{\omega }^{4}+....{\omega }^{(n-1)}=0$

• $1,\omega ,{\omega }^{2},{\omega }^{3},{\omega }^{4},....{\omega }^{(n-1)}$ $\omega$ ஐப் பொதுவிகிதமாகக் கொண்ட பெருக்குத் தொடராக அமைகிறது (பெருக்குத்தொடரின் பொதுவிகிதம் $\omega$)
• சிக்கலெண் தளத்தில் ஒன்றின் n ஆம் படிமூலங்கள் அனைத்தும், அலகு வட்டத்துக்குள் வரையப்பட்ட n பக்கங்கள் கொண்ட ஒழுங்குப் பல்கோணத்தின் உச்சிகளாக அமைவதையும், ஒரு உச்சி 1 இல் அமைவதையும் அறியலாம்.

ஒன்றின் பிற படிமூலங்கள்

முதலாம் படிமூலம்

z¹ = 1 சமன்பாட்டிற்குள்ள ஒரேயொரு தீர்வாக +1 உள்ளது. இது மட்டுமே ஒன்றின் தொடக்கநிலை முதலாம் படிமூலமாகும். (+1 ஆனது, ஒன்றின் இரண்டாம், மூன்றாம், நான்காம்படி,... தொடக்கநிலையற்ற படிமூலமாக அமையும்)

இரண்டாம் படிமூலங்கள் (வர்க்க மூலம்)

z² = 1 சமன்பாட்டிற்கு +1 , −1 ஆகிய இரு தீர்வுகள் உள்ளன. இவற்றில், +1 ஒன்றின் தொடக்கநிலையற்ற இரண்டாம் படிமூலம்; −1 ஒன்றின் தொடக்கநிலை இரண்டாம் படிமூலம்.

±1 மட்டுமே ஒன்றின் மெய்யெண் படிமூலங்கள்; ஏனைய படிமூலங்கள் சிக்கலெண்களாகும்.

முப்படி மூலங்கள்

ஒன்றின் முப்படி மூலங்கள்

$z^{3}-1=0$

$(z-1)(z^{2}-z-1)=0$

இச் சமன்பாட்டின் தீர்வுகள்:

$1,\left\{e^{\frac {2\pi i}{3}},e^{-{\frac {2\pi i}{3}}}\right\}=1,\left\{{\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},{\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right\}$

இம் மூன்றில் 1 தவிர்த்த மற்ற இரு மூலங்களும் தொடக்கநிலை மூன்றாம் படிமூலங்களாகும். ஒன்றின் முப்படி மூலங்கள் மூன்றும் சிக்கலெண் தளத்தில் அலகு வட்டத்துக்குள் வரையப்பட்ட சமபக்க முக்கோணத்தின் உச்சிகளாக அமைகின்றன (படத்தில் காண்க).

நான்காம் படிமூலங்கள்

$z^{4}-1=0$

$(z^{2}-1)(z^{2}+1)=0$

$(z+1)(z-1)(z+i)(z-i)=0$

இச் சமன்பாட்டின் தீர்வுகள்:

$1,-1,\left\{e^{\frac {2\pi i}{4}},e^{-{\frac {2\pi i}{4}}}\right\}=1,-1,\left\{\pm {\sqrt {-1}}\right\}=1,-1,\left\{+i,-i\right\}.$

இவற்றில் $\left\{+i,-i\right\}$ இரண்டும் ஒன்றின் தொடக்கநிலை நான்காம் படிமூலங்கள்.

ஒன்றின் நான்காம் படிமூலங்கள் நான்கும் சிக்கலெண் தளத்தில் அலகு வட்டத்துக்குள் வரையப்பட்ட சதுரத்தின் உச்சிகளாக அமைகின்றன.

தொடக்கநிலை ஐந்தாம் படிமூலங்கள்

$\left\{\left.e^{\frac {2\pi ik}{5}}\right|1\leq k\leq 4\right\}=\left\{\left.{\frac {u{\sqrt {5}}-1}{4}}+v\,i\,{\sqrt {\frac {5+u{\sqrt {5}}}{8}}}\;\right|u,v\in \{-1,1\}\right\}.$

தொடக்கநிலை ஆறாம் படிமூலங்கள்

$\left\{e^{\frac {2\pi i}{6}},e^{-{\frac {2\pi i}{6}}}\right\}=\left\{{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}},{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right\}.$

இவை இரண்டும் தொடக்கநிலை மூன்றாம் படிமூலங்களின் எதிர் எண்களாக உள்ளன.

இதேபோல n இன் ஏனைய முழுஎண் மதிப்புகளுக்கு ஒன்றின் படிமூலங்களைக் காணலாம்.

மேற்கோள்கள்

• வார்ப்புரு:Lang Algebra
• Milne, James S. (1998). "Algebraic Number Theory". Course Notes.
• Milne, James S. (1997). "Class Field Theory". Course Notes.
• வார்ப்புரு:Neukirch ANT
• Neukirch, Jürgen (1986). Class Field Theory. Berlin: Springer-Verlag. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 3-540-15251-2.
• Washington, Lawrence C. (1997). Cyclotomic fields (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-387-94762-0.
• Derbyshire, John (2006). "Roots of Unity". Unknown Quantity. Washington, D.C.: Joseph Henry Press. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-309-09657-X.

வெளி இணைப்புகள்

விக்கிமீடியா பொதுவகத்தில்,
ஒன்றின் மூலங்கள்
என்பதில் ஊடகங்கள் உள்ளன.