இக்கட்டுரையில் பொதுச் சார்புகளின் எல்லைகளின் பட்டியல் தரப்படுகிறது. இதிலுள்ள a, b ,c ஆகிய மூன்றும் மாறி x ஐப் பொறுத்த மாறிலிகளாகும். இப்பட்டியல் முழுமையானதல்ல.
பொதுச்சார்புகளின் எல்லைகள்
[தொகு]
எல்லையின் வரையறையும் தொடர்புடைய கருத்துக்களும்
[தொகு]
. என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே
. இவ்வரையறை எல்லையின் (ε, δ)-வரையறை.
ஒரு தொடர்வரிசையின் உயர் எல்லையின் வரையறை:
![{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }\left(\sup _{m\geq n}x_{m}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bb0da05407d455ac25e39b5cf07b87a7c913bae)
ஒரு தொடர்வரிசையின் தாழ் எல்லையின் வரையறை:
.
சார்பின் தொடர்ச்சி:
.
என்பது உண்மையெனில் சார்பு
ஆனது c புள்ளியில் தொடர்ச்சியானதாக இருக்கும்.
அறியப்பட்ட எல்லை மீதான செயல்கள்
[தொகு]
![{\displaystyle \lim _{x\to c}\,[f(x)\pm a]=L\pm a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e1d3ef86a2d1c54fd7e6cfe84ecc0c4a8809cd8)
[1][2][3]
எனில்,
[4]
[1][2][3]
[1][3]
பொதுவாக, L இல் g(x) தொடர்ச்சியானதாகவும்
எனவும் இருந்தால்:
[1][2]
அறியப்பட்ட இரு எல்லைகள் மீதான செயல்கள்
[தொகு]
![{\displaystyle {\text{If }}\lim _{x\to c}f(x)=L_{1}{\text{ and }}\lim _{x\to c}g(x)=L_{2}{\text{ then:}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82d29a7167580dcc8bada75e8b48b3693875d328)
[1][2][3]
[1][2][3]
[1][2][3]
வகைக்கெழுக்கள் அல்லது நுண்ணளவு மாற்றங்கள் கொண்ட எல்லைகள்
[தொகு]
இங்கு நுண்ணளவு மாற்றமானது
அல்லது
எனக் குறிக்கப்படுகிறது.
இல்,
வகையிடத்தக்கச் சார்பு எனில்:
.
இது வகையிடலின் வரையறையாகும்.
வகையிடல் விதிகளையும் எல்லைகளைக் கொண்டவைகளாக மாற்றியமைக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக x இல், g(x) வகையிடத்தக்கது எனில்,
. (வகையிடலின் சங்கிலி விதி).
. (வகையிடலின் பெருக்கல் விதி).
![{\displaystyle \lim _{h\to 0}\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)^{\frac {1}{h}}=\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a11d7e228e328f7c206e0bdf7a26f2b8684c7d4c)
![{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\left({f(x(1+h)) \over {f(x)}}\right)^{1 \over {h}}}=\exp \left({\frac {xf'(x)}{f(x)}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/942c956bb9d9415e620bf752f4e37d9b8cbaaf4e)
இரண்டும் c ஐ உள்ளடக்கிய திறந்த இடைவெளியில் (c ஐ மட்டும் தவிர்க்கலாம்) வகையிடத்தக்கவையாகவும்,
எனவும் இருக்குமானால், லாபிதாலின் விதியைப் பயன்படுத்தலாம்:
[2]
c ஐ உள்ளடக்கிய இடைவெளியிலுள்ள அனைத்து x மதிப்புகளுக்கும் (ஒருவேளை c தவிர்க்கப்படலாம்)
ஆகவும்,
இரண்டின் எல்லைகளும் c இடத்துக் காணத்தக்கதாகவும் இருந்தால்:
[5]
c ஐ உள்ளடக்கிய இடைவெளியிலுள்ள அனைத்து x மதிப்புகளுக்கும் (ஒருவேளை c தவிர்க்கப்படலாம்)
ஆகவும்,
ஆகவும் இருந்தால்:
.[1][2]
f(x) , g(x) இரண்டின் மதிப்புகளும் c இடத்து வெவ்வேறாக இருந்தாலும் அல்லது c இடத்து இவ்விரு சார்புகளும் தொடர்ச்சியற்றதாக இருந்தாலும் இம்முடிவு உண்மையாக இருக்கும்.
பல்லுறுப்புக்கோவைகளும் xa வடிவச் சார்புகளும்
[தொகு]
[1][2][3]
x இல் அமைந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகள்
[தொகு]
[1][2][3]
![{\displaystyle \lim _{x\to c}(ax+b)=ac+b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2541766256fd7760536e6c72536a5da1c5914866)
[5]
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }x/a={\begin{cases}\infty ,&a>0\\{\text{does not exist}},&a=0\\-\infty ,&a<0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d60cd118eb5756d5c47f7dd92b18e7605ac56d6b)
பொதுவாக
ஒரு பல்லுறுக்கோவையெனில் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் தொடர்ச்சித்தன்மையின்படி:
[5]
விகிதமுறு சார்புகள் அவற்றின் ஆட்களங்களில் தொடர்ச்சியானவை என்பதால் அவற்றுக்கும் இம்முடிவு பொருந்தும்.[5]
xa வடிவச் சார்புகள்
[தொகு]
[5] குறிப்பாக:
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }x^{a}={\begin{cases}\infty ,&a>0\\1,&a=0\\0,&a<0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2afa71c8dd73f6b8bdd8f9d8bb7ddceee0f32123)
.[5] குறிப்பாக:
[6]
![{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{-n}=\lim {\frac {1}{x^{n}}}=+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c257183aeacfaf8f68e96062b8ca60c732a5ce2b)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}x^{-n}=\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x^{n}}}={\begin{cases}-\infty ,&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\+\infty ,&{\text{if }}n{\text{ is even}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14c7fdb3e8f5d090ce064183a921e59b1524d822)
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }ax^{-1}=\lim _{x\to \infty }a/x=0{\text{ for any real }}a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54f5f183bd64f582a6b468484c63ed0666d5566f)
அடுக்கேற்றச் சார்புகள்
[தொகு]
ag(x) வடிவச் சார்புகள்
[தொகு]
(
தொடர்ச்சியான சார்பு என்பதால்)
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }a^{x}={\begin{cases}\infty ,&a>1\\1,&a=1\\0,&0<a<1\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/264d573fbe20d8772ceb811e2f45f962daebe41b)
[6]
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{a}}=\lim _{x\to \infty }{a}^{1/x}={\begin{cases}1,&a>0\\0,&a=0\\{\text{does not exist}},&a<0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/257587de98c10b53ea0f58512ac1955779cf57d1)
xg(x) வடிவச் சார்புகள்
[தொகு]
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{x}}=\lim _{x\to \infty }{x}^{1/x}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa1a821ef69483eecca48841d2b536f92682b8d6)
f(x)g(x) வடிவச் சார்புகள்
[தொகு]
[2]
[2]
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}\left(1+kx\right)^{\frac {m}{x}}=e^{mk}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49cff17ec90d1b513145446d46d627a57d7a9b8f)
[7]
![{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1-{\frac {1}{x}}\right)^{x}={\frac {1}{e}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9db2ba69ebe50f31110495ba9c7d0c45e2754281)
[6]
.
கூட்டுத்தொகை, பெருக்கற்பலன், கூட்டமைவுகள்
[தொகு]
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}xe^{-x}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90a973a5e219efe6468257eff9270f8b2aaae5d1)
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }xe^{-x}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9117d6dce83cb5b774801c80fb4d4234bc8bba5d)
[4][7]
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}\left({\frac {e^{x}-1}{x}}\right)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e09d354f5b794124f39d125f679dfcdcbf8167a)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}\left({\frac {e^{ax}-1}{x}}\right)=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08f2a74ac98d186f161c1f274a6bf2181dc756b0)
இன் தொடர்ச்சித்தன்மையால்:
குறிப்பாக,
![{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log x=-\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb7a454bbcf3fafcf6ea82fdcd1b8346c5c0d1a7)
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log x=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a3dc39adf241c3465eb63b5e002296b7d0c57e)
![{\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {\ln(x)}{x-1}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31e8144e6486167e696a70b49e1ef2ff4019cbec)
[7]
. (லாபிதாலின் விதியின்படி பெறப்படுகிறது)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x\ln x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7995bf2d6506c3a0c071d455440b7df259b8f46f)
[6]
குறிப்பிலா அடிமான மடக்கைகள்
[தொகு]
a > 1 எனில்:
![{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72808181c55d9096253749e5968f71c47c87bd9b)
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}x=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bac08a36cc877e299461440d1c9c08d88373f041)
a < 1 எனில்:
![{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/167a955ea9c9097586ca7d5913b50de3a7eb47f3)
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}x=-\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72796c046b79b60db2f9202ac7c97c91a14b3f2d)
முக்கோணவியல் சார்புகள்
[தொகு]
ஆனது ரேடியன்களில் குறிக்கப்படுகிறது. சைன் மற்றும் கொசைன் சார்புகளின் தொடர்ச்சித்தன்மையால்:
![{\displaystyle \lim _{x\to a}\sin x=\sin a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bf4a31eeee313433f14413d9e3c441d69576a9)
![{\displaystyle \lim _{x\to a}\cos x=\cos a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/233fccfb3bbfdad201662ecc5dce951fd4baf7b9)
.[7] அல்லது பொதுவாக,
, (a ≠ 0)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{x}}=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/415364a0432ca572cee3f3ec1fa393bc925f9124)
, (b ≠ 0)
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f11a7e97877900ffcb35de9f9636ada056329dc)
[4]
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/580636aba444eda89b876cfc9e36e1f31d40e771)
(n ஒரு முழு எண்)
(x0 ஒரு குறிப்பிலா மெய் எண்)
, ( d டோத்தி எண், x0 ஒரு குறிப்பிலா மெய் எண்)
பொதுவாக எந்தவொரு முடிவுறாத் தொடரும் அதன் பகுதிக் கூட்டல்களின் எல்லையாக இருக்கும்.
. இது இசைத் தொடர் என அறியப்படுகிறது.[6]
. இது ஆய்லர் மசுசேரோனி மாறிலி (Euler Mascheroni constant) என அறியப்படுகிறது.
குறிப்பிடத்தக்கச் சிறப்பு எல்லைகள்
[தொகு]
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}=e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e67d9f7e2588c9b3d418f1107e9ea27b8f330ed)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(n!\right)^{1/n}=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5085d654dc46335d0de3ed462d5945de91f992c0)
.