உள்ளடக்கத்துக்குச் செல்

எல்லைகளின் பட்டியல் (கணிதம்)

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.

இக்கட்டுரையில் பொதுச் சார்புகளின் எல்லைகளின் பட்டியல் தரப்படுகிறது. இதிலுள்ள a, b ,c ஆகிய மூன்றும் மாறி x ஐப் பொறுத்த மாறிலிகளாகும். இப்பட்டியல் முழுமையானதல்ல.

பொதுச்சார்புகளின் எல்லைகள்

[தொகு]

எல்லையின் வரையறையும் தொடர்புடைய கருத்துக்களும்

[தொகு]

. என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே . இவ்வரையறை எல்லையின் (ε, δ)-வரையறை.

ஒரு தொடர்வரிசையின் உயர் எல்லையின் வரையறை:

ஒரு தொடர்வரிசையின் தாழ் எல்லையின் வரையறை:

.

சார்பின் தொடர்ச்சி:

.

என்பது உண்மையெனில் சார்பு ஆனது c புள்ளியில் தொடர்ச்சியானதாக இருக்கும்.

அறியப்பட்ட எல்லை மீதான செயல்கள்

[தொகு]

[1][2][3]
எனில், [4]
[1][2][3]
[1][3]

பொதுவாக, L இல் g(x) தொடர்ச்சியானதாகவும் எனவும் இருந்தால்:

[1][2]

அறியப்பட்ட இரு எல்லைகள் மீதான செயல்கள்

[தொகு]

[1][2][3]

[1][2][3]

[1][2][3]

வகைக்கெழுக்கள் அல்லது நுண்ணளவு மாற்றங்கள் கொண்ட எல்லைகள்

[தொகு]

இங்கு நுண்ணளவு மாற்றமானது அல்லது எனக் குறிக்கப்படுகிறது.

இல், வகையிடத்தக்கச் சார்பு எனில்:

.

இது வகையிடலின் வரையறையாகும்.

வகையிடல் விதிகளையும் எல்லைகளைக் கொண்டவைகளாக மாற்றியமைக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக x இல், g(x) வகையிடத்தக்கது எனில்,

. (வகையிடலின் சங்கிலி விதி).

. (வகையிடலின் பெருக்கல் விதி).

இரண்டும் c ஐ உள்ளடக்கிய திறந்த இடைவெளியில் (c ஐ மட்டும் தவிர்க்கலாம்) வகையிடத்தக்கவையாகவும், எனவும் இருக்குமானால், லாபிதாலின் விதியைப் பயன்படுத்தலாம்:

[2]

சமனிலிகள்

[தொகு]

c ஐ உள்ளடக்கிய இடைவெளியிலுள்ள அனைத்து x மதிப்புகளுக்கும் (ஒருவேளை c தவிர்க்கப்படலாம்) ஆகவும், இரண்டின் எல்லைகளும் c இடத்துக் காணத்தக்கதாகவும் இருந்தால்:

[5]

c ஐ உள்ளடக்கிய இடைவெளியிலுள்ள அனைத்து x மதிப்புகளுக்கும் (ஒருவேளை c தவிர்க்கப்படலாம்) ஆகவும், ஆகவும் இருந்தால்:

.[1][2]

f(x) , g(x) இரண்டின் மதிப்புகளும் c இடத்து வெவ்வேறாக இருந்தாலும் அல்லது c இடத்து இவ்விரு சார்புகளும் தொடர்ச்சியற்றதாக இருந்தாலும் இம்முடிவு உண்மையாக இருக்கும்.

பல்லுறுப்புக்கோவைகளும் xa வடிவச் சார்புகளும்

[தொகு]
[1][2][3]

x இல் அமைந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகள்

[தொகு]
[1][2][3]
[5]

பொதுவாக ஒரு பல்லுறுக்கோவையெனில் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் தொடர்ச்சித்தன்மையின்படி:

[5]

விகிதமுறு சார்புகள் அவற்றின் ஆட்களங்களில் தொடர்ச்சியானவை என்பதால் அவற்றுக்கும் இம்முடிவு பொருந்தும்.[5]

xa வடிவச் சார்புகள்

[தொகு]
[5] குறிப்பாக:
.[5] குறிப்பாக:
[6]

அடுக்கேற்றச் சார்புகள்

[தொகு]

ag(x) வடிவச் சார்புகள்

[தொகு]
( தொடர்ச்சியான சார்பு என்பதால்)
[6]

xg(x) வடிவச் சார்புகள்

[தொகு]

f(x)g(x) வடிவச் சார்புகள்

[தொகு]
[2]
[2]
[7]
[6]
.

கூட்டுத்தொகை, பெருக்கற்பலன், கூட்டமைவுகள்

[தொகு]
[4][7]

மடக்கைச் சார்புகள்

[தொகு]

இயல் மடக்கைகள்

[தொகு]

இன் தொடர்ச்சித்தன்மையால்:

குறிப்பாக,
[7]
. (லாபிதாலின் விதியின்படி பெறப்படுகிறது)
[6]

குறிப்பிலா அடிமான மடக்கைகள்

[தொகு]

a > 1 எனில்:

a < 1 எனில்:

முக்கோணவியல் சார்புகள்

[தொகு]

ஆனது ரேடியன்களில் குறிக்கப்படுகிறது. சைன் மற்றும் கொசைன் சார்புகளின் தொடர்ச்சித்தன்மையால்:

.[7] அல்லது பொதுவாக,
, (a ≠ 0)
, (b ≠ 0)
[4]
(n ஒரு முழு எண்)
(x0 ஒரு குறிப்பிலா மெய் எண்)
, ( d டோத்தி எண், x0 ஒரு குறிப்பிலா மெய் எண்)

கூட்டுத்தொகைகள்

[தொகு]

பொதுவாக எந்தவொரு முடிவுறாத் தொடரும் அதன் பகுதிக் கூட்டல்களின் எல்லையாக இருக்கும்.

. இது இசைத் தொடர் என அறியப்படுகிறது.[6]
. இது ஆய்லர் மசுசேரோனி மாறிலி (Euler Mascheroni constant) என அறியப்படுகிறது.

குறிப்பிடத்தக்கச் சிறப்பு எல்லைகள்

[தொகு]
.

மேற்கோள்கள்

[தொகு]
  1. 1.00 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 "Basic Limit Laws". math.oregonstate.edu. Archived from the original on 2019-07-30. பார்க்கப்பட்ட நாள் 2019-07-31.
  2. 2.00 2.01 2.02 2.03 2.04 2.05 2.06 2.07 2.08 2.09 2.10 2.11 "Limits Cheat Sheet - Symbolab". www.symbolab.com (in ஆங்கிலம்). பார்க்கப்பட்ட நாள் 2019-07-31.
  3. 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 "Section 2.3: Calculating Limits using the Limit Laws" (PDF).
  4. 4.0 4.1 4.2 "Limits and Derivatives Formulas" (PDF).
  5. 5.0 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 "Limits Theorems". archives.math.utk.edu. Archived from the original on 2019-08-02. பார்க்கப்பட்ட நாள் 2019-07-31.
  6. 6.0 6.1 6.2 6.3 6.4 "Some Special Limits". www.sosmath.com. பார்க்கப்பட்ட நாள் 2019-07-31.
  7. 7.0 7.1 7.2 7.3 "SOME IMPORTANT LIMITS - Math Formulas - Mathematics Formulas - Basic Math Formulas". www.pioneermathematics.com. Archived from the original on 2019-07-31. பார்க்கப்பட்ட நாள் 2019-07-31.