விகிதமுறு சார்பு

கணிதத்தில், விகிதமுறு சார்பு (rational function) என்பது, பகுதியாகவும் தொகுதியாகவும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளைக் கொண்ட இயற்கணிதப் பின்னத்தால் வரையறுக்கப்படும் சார்பாகும். பகுதி, தொகுதியாக அமையும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் கெழுக்கள் விகிதமுறு எண்களாகத்தான் இருக்க வேண்டும் என்பதில்லை; அவை ஏதாவதுவொரு களத்தின் (K) உறுப்புகளாக இருக்கலாம். எனவே விகிதமுறு சார்பானது ஒரு களம் K இன் மீது வரையறுக்கப்பட்ட சார்பாகும். பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் மாறிகள் அமையும் களமானது (L), K ஐ உள்ளடக்கிய களமாக இருக்க வேண்டும். பகுதிகளாக அமையும் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் பூச்சியமற்றதாக இருக்குமாறுள்ள மாறிகளின் மதிப்புகளைக் கொண்ட கணமானது இச்சார்பின் [[ஆட்களம் (கணிதம்)|ஆட்களமாகவும், இணையாட்களம் L ஆகவும் அமையும்.

வரையறை[தொகு]

f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}

என்ற வடிவில் எழுதக்கூடியதாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே,

f(x)

ஒரு விகிதமுறு சார்பாகும்.

இதில் $P\,$ , $Q\,$ $x\,$ மாறியில் அமைந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகள்; $Q\,$ பூச்சியமற்ற பல்லுறுப்புக்கோவை; $Q(x)\,$ பூச்சியமற்றதாக இருக்குமாறுள்ள $x\,$ இன் மதிப்புகள் $f\,$ இன் ஆட்களம்.

மாறிலியாக இல்லாத ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையானது $\textstyle P$ , $\textstyle Q$ இரண்டின் மீப்பெரு பொது வகுத்தியாக ( $\textstyle R$ ) இருக்குமானால், $\textstyle P$ , $\textstyle Q$ இரண்டையும் $\textstyle R$ ஆல் வகுத்து பின்வரும் விகிதமுறு சார்பு $f_{1}(x)$ ஐப் பெறலாம்:

\textstyle P=P_{1}R,

\textstyle Q=Q_{1}R

f_{1}(x)={\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}},

$f_{1}(x)$ இன் ஆட்களம், $f(x)$ இன் ஆட்களத்தை விடப்பெரியது. $f(x).$ சார்பின் ஆட்களத்தில், $f_{1}(x)$ சார்பானது $f(x)$ க்குச் சமமானதாக இருக்கும்.

பல்லுறுப்புக்கோவை பின்னங்களின் சமானப் பகுதியாக விகிதமுறு சார்பைக் கொள்ளலாம்.

\textstyle P=P_{1}R,

\textstyle Q=Q_{1}R

{\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {P_{1}R}{Q_{1}R}}={\frac {P_{1}}{Q_{1}}}

${\frac {P(x)}{Q(x)}},$ ${\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}}$ இரண்டும் சமானமானவையாகும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்[தொகு]

விகிதமுறு சார்புகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

மூன்றாம் படி விகிதமுறு சார்பு:

y={\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}

இரண்டாம் படி விகிதமுறு சார்பு:

y={\frac {x^{2}-3x-2}{x^{2}-4}}

$f(x)={\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}.$

இந்த விகிதமுறு சார்பு $x^{2}=5\Leftrightarrow x=\pm {\sqrt {5}}$ இல் வரையறுக்கப்படவில்லை. x , முடிவிலியை அணுகும்போது இச்சார்பு ${\frac {x}{2}}$ க்கு ஈற்றணுகாக (asymptotic) அமையும்.

$f(x)={\frac {x^{2}+2}{x^{2}+1}}$

இந்த விகிதமுறு சார்பு எல்லா மெய்யெண்களுக்கும் வரையறுக்கப்பட்டது; ஆனால் அனைத்து சிக்கலெண்களுக்கும் வரையறுக்கப்பட்டதல்ல. x இன் மதிப்பு $-1$ இன் வர்க்கமூலமாக இருந்தால், (i அல்லது -i)