உட்தொடு முக்கோணம்

ΔABC-ன் உள்வட்டம் (நீலம்), உள்மையம் (நீலம்-I ), கெர்கோனின் தொடுமுக்கோணம் (சிவப்பு- ΔT_aT_bT_c) மற்றும் கெர்கோன் புள்ளி (பச்சை-Ge)

ஒரு முக்கோணத்தின் உட்தொடு முக்கோணம் அல்லது தொடு முக்கோணம் (Intouch triangle or contact triangle) என்பது ஒரு முக்கோணத்தின் உள்வட்டமானது அம்முக்கோணத்தின் பக்கங்களைத் தொடும் மூன்று புள்ளிகளையும் உச்சிகளாகக் கொண்ட முக்கோணம் ஆகும். உட்தொடு முக்கோணமானது கெர்கோன் முக்கோணம் ( Gergonne triangle) எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டாக, $\triangle ABC$ -ன் உள்வட்டமானது முக்கோணத்தின் பக்கங்களைத் தொடும்புள்ளிகள்:

T_A , உச்சி A -க்கு எதிர்ப்பக்கத்தின் தொடு புள்ளி;

T_B , உச்சி B -க்கு எதிர்ப்பக்கத்தின் தொடு புள்ளி

T_C , உச்சி C -க்கு எதிர்ப்பக்கத்தின் தொடு புள்ளி

இம் மூன்று தொடுபுள்ளிகளையும் உச்சிகளாகக் கொண்ட முக்கோணம் $\triangle T_{A}T_{B}T_{C}$ உட்தொடு முக்கோணமாகும். $\triangle ABC$-ன் உள்வட்டமானது $\triangle$T_AT_BT_C -க்கு சுற்றுவட்டமாக இருக்கும்.

$\triangle ABC$ -ன் பக்கங்கள் $\ BC,$ $\ CA,$ $\ AB,$ -க்கு வரையப்பட்ட வெளிவட்டங்களின் தொடு புள்ளிகளை உச்சிகளாகக் கொண்ட முக்கோணம், வெளித்தொடு முக்கோணம் ஆகும். $\triangle ABC$ -ன் உட்கோண இருசமவெட்டிகளானது முக்கோணத்தின் பக்கங்களை வெட்டும் புள்ளிகளால் உருவாகும் முக்கோணம், உள்மைய முக்கோணம் (incentral triangle) எனப்படும்.

உட்தொடு முக்கோணத்தின் உச்சிகள்

உட்தொடு முக்கோணத்தின் உச்சிகளின் முக்கோட்டு ஆட்கூறுகள் (Trilinear coordinates)

$A-{\text{vertex}}=0:\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)$

$B-{\text{vertex}}=\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):0:\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)$

$C-{\text{vertex}}=\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):0$

பக்க நீளங்கள்

மூல முக்கோணம் $\triangle ABC$ இன் பக்கநீளங்கள் a, b, c மற்றும் கோணங்கள் A, B, C எனில் உட்தொடு முக்கோணத்தின் பக்கநீளங்கள்:

$a^{,}=(-a+b+c)cos(1/2A)$

$b^{,}=(a-b+c)cos(1/2B)$

$c^{,}=(a+b-c)cos(1/2C)$.

பரப்பளவு

உட்தொடு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு காணும் வாய்ப்பாடுகள்: $\Delta ^{,}={\frac {(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}{(4abc)}}\Delta$

$={\frac {2r^{2}s}{abc}}\Delta$

$={\frac {\Delta ^{2}}{2Rs}}$

$\Delta$, r, s, R முறையேமூல முக்கோணம் $\triangle ABC$இன் பரப்பளவு, உள்வட்ட ஆரம், அரைச்சுற்றளவு, சுற்றுவட்ட ஆரம் ஆகும். வெளித்தொடு முக்கோணம், உட்தொடு முக்கோணம் இரண்டின் பரப்பளவும் சமமானவை.

கெர்கோன் புள்ளி

AT_A, BT_B மற்றும் CT_C கோடுகள் மூன்றும் ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கின்றன. அப்புள்ளியானது, $\triangle ABC$-இன் கெர்கோன் புள்ளி Ge – X(7) எனப்படும். $\triangle ABC$-இன் கெர்கோன் புள்ளியானது நாகெல் புள்ளியின் ஐசோட்டாமிக் இணையியமாகவும் உட்தொடு முக்கோணத்தின் சமச்சரிவு இடைக்கோட்டுப் புள்ளியாகவும் இருக்கும். மேலும் கெர்கோன் புள்ளி ஒரு முக்கோண மையமாகும்.

கெர்கோன் புள்ளியின் ஆட்கூறுகள்

கெர்கோன் புள்ளியின் முக்கோட்டு ஆட்கூறுகள்:

$\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)$,

(அல்லது சைன் விதியைப் பயன்படுத்தி)

${\frac {bc}{b+c-a}}:{\frac {ca}{c+a-b}}:{\frac {ab}{a+b-c}}$.

மேற்கோள்கள்

• "Contact Triangle." From MathWorld
• "Gergonne Point." From MathWorld