கணிதத்தில் , ராமானுசரின் தலையாய தேற்றம் (பிறகு சீனிவாச இராமானுசன் [ 1] பகுப்பாய்வு சார்பின் மெல்லின் உருமாற்றத்திற்கு பகுமுறை விரிவாக்கத்திற்கான ஒரு உத்தியை வழங்குகிறது.
ராமானுசரின் நோட்டு புத்தகத்தில் எழுதப்பட்டு இருந்த ராமானுஜரின் தலையாய தேற்றத்தின் ஒரு பக்கம் . தேற்றத்தின் முடிவுகள் பின்வருமாறு கூறப்படுகிறது:
சிக்கலான எண் மதிப்புடைய சார்பு
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
(
x
)
=
∑
k
=
0
∞
ϕ
(
k
)
k
!
(
−
x
)
k
{\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\phi (k)}{k!}}(-x)^{k}\!}
f
(
x
)
=
∑
k
=
0
∞
ϕ
(
k
)
k
!
(
−
x
)
k
{\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\phi (k)}{k!}}(-x)^{k}\!}
f
(
x
)
=
∑
k
=
0
∞
ϕ
(
k
)
k
!
(
−
x
)
k
{\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\phi (k)}{k!}}(-x)^{k}\!}
எனவே
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)\end{aligned}}}
∫
0
∞
x
s
−
1
f
(
x
)
d
x
=
Γ
(
s
)
ϕ
(
−
s
)
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)\,dx=\Gamma (s)\phi (-s)}
∫
0
∞
x
s
−
1
f
(
x
)
d
x
=
Γ
(
s
)
ϕ
(
−
s
)
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)\,dx=\Gamma (s)\phi (-s)\!}
∫
0
∞
x
s
−
1
f
(
x
)
d
x
=
Γ
(
s
)
ϕ
(
−
s
)
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)\,dx=\Gamma (s)\phi (-s)\!}
இங்கு
Γ
(
s
)
{\displaystyle \Gamma (s)\!}
காமா சார்பு ஆகும்
இது தொகைகள் மற்றும் முடிவற்ற தொடர்க ள் சார்ந்த கணக்கீடுகள் கண்டறிவதற்கு ராமானுசரால் தொடர்ந்து பயன்படுத்தப்பட்ட சார்பு ஆகும்.
இந்தக் தேற்றத்தின் உயர் பரிமாண பதிப்புகள் குவாண்டம் இயற்பியலில் ( ஃபேய்ன்மேன் விளக்கப்படங்கள் மூலம்) பயன்படுகின்றன. [ 2]
இதேபோன்ற முடிவுகளை ஜெ.டபிள்யு.எல் கிளாசர் பெற்றார். [ 3]
[ தொகு ] ராமானுசரின் தலையாய தேற்றத்தின் மாற்று வடிவ சூத்திரம் பின்வருமாறு:
∫
0
∞
x
s
−
1
(
λ
(
0
)
−
x
λ
(
1
)
+
x
2
λ
(
2
)
−
⋯
)
d
x
=
π
sin
(
π
s
)
λ
(
−
s
)
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}({\lambda (0)-x\lambda (1)+x^{2}\lambda (2)-\cdots })\,dx={\frac {\pi }{\sin(\pi s)}}\lambda (-s)}
மேற்கண்ட சூத்திரத்தில்
λ
(
n
)
=
ϕ
(
n
)
Γ
(
1
+
n
)
{\displaystyle \lambda (n)={\frac {\phi (n)}{\Gamma (1+n)}}\!}
காமா சார்பு சமன்பட்டினை பயன்படுத்தி சுருக்கிய பின்பு .
சார்பு
ϕ
{\displaystyle \phi }
0
<
Re
(
s
)
<
1
{\displaystyle 0<\operatorname {Re} (s)<1}
[ 4]
ராமானுசரின் தலையாய தேற்றத்தின் "உண்மை" அனுமானங்களுக்கு (இருப்பினும் பலவீனமான மற்றும் போதுமான நிபந்தனைகளுக்கு இல்லை) கணிதவியலாளர் GH ஹார்டி , தான் விரிவாக்கம் செய்யப்பட்ட எச்ச தேற்றம் மற்றும் நன்கு அறியப்பட்ட மெல்லின் தலைகீழ் தேற்றம் ஆகியவற்றை ஆதாரமாக விளக்கினார்.
[ தொகு ] பெர்னோலி பல்லுறுப்புக் கோவை
B
k
(
x
)
{\displaystyle B_{k}(x)\!}
f
r
a
c
z
e
x
z
e
z
−
1
=
∑
k
=
0
∞
B
k
(
x
)
z
k
k
!
{\displaystyle frac{ze^{xz}}{e^{z}-1}=\sum _{k=0}^{\infty }B_{k}(x){\frac {z^{k}}{k!}}}
z
e
x
z
e
z
−
1
=
∑
k
=
0
∞
B
k
(
x
)
z
k
k
!
{\displaystyle {\frac {ze^{xz}}{e^{z}-1}}=\sum _{k=0}^{\infty }B_{k}(x){\frac {z^{k}}{k!}}\!}
z
e
x
z
e
z
−
1
=
∑
k
=
0
∞
B
k
(
x
)
z
k
k
!
{\displaystyle {\frac {ze^{xz}}{e^{z}-1}}=\sum _{k=0}^{\infty }B_{k}(x){\frac {z^{k}}{k!}}\!}
இந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஹர்விட்ஸ் இசீட்டா சார்பின் வடிவில் வழங்கப்படுகின்றன:
ζ
(
s
,
a
)
=
∑
n
=
0
∞
1
(
n
+
a
)
s
{\displaystyle \zeta (s,a)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+a)^{s}}}\!}
z
e
t
a
(
s
,
a
)
=
∑
n
=
0
∞
1
(
n
+
a
)
s
{\displaystyle zeta(s,a)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+a)^{s}}}\!}
ζ
(
s
,
a
)
=
∑
n
=
0
∞
1
(
n
+
a
)
s
{\displaystyle \zeta (s,a)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+a)^{s}}}\!}
n
≥
1
{\displaystyle n\geq 1}
ζ
(
1
−
n
,
a
)
=
−
B
n
(
a
)
n
{\displaystyle \zeta (1-n,a)=-{\frac {B_{n}(a)}{n}}\!}
ராமானுசரின் தலையாய தேற்றம் மற்றும் பெர்னோலி பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் பிறப்பாக்கி சார்பு ஆகியவற்றை பயன்படுத்தும் போது பின்வரும் தொகை வடிவில் இருக்கும்:
∫
0
∞
x
s
−
1
(
e
−
a
x
1
−
e
−
x
−
1
x
)
d
x
=
Γ
(
s
)
ζ
(
s
,
a
)
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}\left({\frac {e^{-ax}}{1-e^{-x}}}-{\frac {1}{x}}\right)\,dx=\Gamma (s)\zeta (s,a)\!}
∫
0
∞
x
s
−
1
(
e
−
a
x
1
−
e
−
x
−
1
x
)
d
x
=
Γ
(
s
)
ζ
(
s
,
a
)
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}\left({\frac {e^{-ax}}{1-e^{-x}}}-{\frac {1}{x}}\right)\,dx=\Gamma (s)\zeta (s,a)\!}
i
n
t
0
∞
x
s
−
1
(
e
−
a
x
1
−
e
−
x
−
1
x
)
d
x
=
Γ
(
s
)
ζ
(
s
,
a
)
{\displaystyle int_{0}^{\infty }x^{s-1}\left({\frac {e^{-ax}}{1-e^{-x}}}-{\frac {1}{x}}\right)\,dx=\Gamma (s)\zeta (s,a)\!}
இது
0
<
Re
(
s
)
<
1
{\displaystyle 0<\operatorname {Re} (s)<1\!}
0
<
Re
(
s
)
<
1
{\displaystyle 0<\operatorname {Re} (s)<1\!}
[ தொகு ] காமா சார்பு பற்றி வீர்சார்ட்-ன் வரையறை
G
a
m
m
a
(
x
)
=
e
−
γ
x
x
∏
n
=
1
∞
(
1
+
x
n
)
−
1
e
x
/
n
{\displaystyle Gamma(x)={\frac {e^{-\gamma x}}{x}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{-1}e^{x/n}\!}
Γ
(
x
)
=
e
−
γ
x
x
∏
n
=
1
∞
(
1
+
x
n
)
−
1
e
x
/
n
{\displaystyle \Gamma (x)={\frac {e^{-\gamma x}}{x}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{-1}e^{x/n}\!}
Γ
(
x
)
=
e
−
γ
x
x
∏
n
=
1
∞
(
1
+
x
n
)
−
1
e
x
/
n
{\displaystyle \Gamma (x)={\frac {e^{-\gamma x}}{x}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{-1}e^{x/n}\!}
இது
log
Γ
(
1
+
x
)
=
−
γ
x
+
∑
k
=
2
∞
ζ
(
k
)
k
(
−
x
)
k
{\displaystyle \log \Gamma (1+x)=-\gamma x+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\zeta (k)}{k}}(-x)^{k}\!}
log
Γ
(
1
+
x
)
=
−
γ
x
+
∑
k
=
2
∞
ζ
(
k
)
k
(
−
x
)
k
{\displaystyle \log \Gamma (1+x)=-\gamma x+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\zeta (k)}{k}}(-x)^{k}\!}
log
Γ
(
1
+
x
)
=
−
γ
x
+
∑
k
=
2
∞
ζ
(
k
)
k
(
−
x
)
k
{\displaystyle \log \Gamma (1+x)=-\gamma x+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\zeta (k)}{k}}(-x)^{k}\!}
log
Γ
(
1
+
x
)
=
−
γ
x
+
∑
k
=
2
∞
ζ
(
k
)
k
(
−
x
)
k
{\displaystyle \log \Gamma (1+x)=-\gamma x+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\zeta (k)}{k}}(-x)^{k}\!}
log
Γ
(
1
+
x
)
=
−
γ
x
+
∑
k
=
2
∞
ζ
(
k
)
k
(
−
x
)
k
{\displaystyle \log \Gamma (1+x)=-\gamma x+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\zeta (k)}{k}}(-x)^{k}\!}
l
o
g
Γ
(
1
+
x
)
=
−
γ
x
+
∑
k
=
2
∞
ζ
(
k
)
k
(
−
x
)
k
{\displaystyle log\Gamma (1+x)=-\gamma x+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\zeta (k)}{k}}(-x)^{k}\!}
இங்கு
ζ
(
k
)
{\displaystyle \zeta (k)\!}
ரீமன் இசீட்டா சார்பு ஆகும் .
ராமானுசரின் தலையாய தேற்றம் பின்வருமாறு பயன்படுத்துகிறோம்:
∫
0
∞
x
s
−
1
γ
x
+
log
Γ
(
1
+
x
)
x
2
d
x
=
π
sin
(
π
s
)
ζ
(
2
−
s
)
2
−
s
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}{\frac {\gamma x+\log \Gamma (1+x)}{x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{\sin(\pi s)}}{\frac {\zeta (2-s)}{2-s}}\!}
∫
0
∞
x
s
−
1
γ
x
+
log
Γ
(
1
+
x
)
x
2
d
x
=
π
sin
(
π
s
)
ζ
(
2
−
s
)
2
−
s
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}{\frac {\gamma x+\log \Gamma (1+x)}{x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{\sin(\pi s)}}{\frac {\zeta (2-s)}{2-s}}\!}
இது
0
<
Re
(
s
)
<
1
{\displaystyle 0<\operatorname {Re} (s)<1\!}
0
<
Re
(
s
)
<
1
{\displaystyle 0<\operatorname {Re} (s)<1\!}
இங்கு
s
=
1
2
{\displaystyle s={\frac {1}{2}}\!}
0
<
R
e
(
s
)
<
1
{\displaystyle 0<Re(s)<1\!}
s
=
1
2
{\displaystyle s={\frac {1}{2}}\!}
s
=
3
4
{\displaystyle s={\frac {3}{4}}\!}
s
=
3
4
{\displaystyle s={\frac {3}{4}}\!}
∫
0
∞
γ
x
+
log
Γ
(
1
+
x
)
x
5
/
2
d
x
=
2
π
3
ζ
(
3
2
)
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\gamma x+\log \Gamma (1+x)}{x^{5/2}}}\,dx={\frac {2\pi }{3}}\zeta \left({\frac {3}{2}}\right)}
∫
0
∞
γ
x
+
log
Γ
(
1
+
x
)
x
9
/
4
d
x
=
2
4
π
5
ζ
(
5
4
)
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\gamma x+\log \Gamma (1+x)}{x^{9/4}}}\,dx={\sqrt {2}}{\frac {4\pi }{5}}\zeta \left({\frac {5}{4}}\right)}
↑ Berndt, B. (1985). Ramanujan’s Notebooks, Part I . New York: Springer-Verlag. ↑ González, Iván. "A generalized Ramanujan Master Theorem applied to the evaluation of Feynman diagrams" . ↑ Glaisher, J. W. L. (1874). "A new formula in definite integrals". The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 48 (315): 53–55. ↑ Amdeberhan, Tewodros; Gonzalez, Ivan; Harrison, Marshall; Moll, Victor H.; Straub, Armin (2012). "Ramanujan's Master Theorem". The Ramanujan Journal 29 (1–3): 103–120. doi :10.1007/s11139-011-9333-y .
