முக்கோண எண்
வடிவவியலில் முக்கோண எண் (triangular number) என்பது வடிவ எண்களில் ஒரு வகையாகும். படத்தில் உள்ளவாறு, ஒரு முக்கோண எண் என்பது ஒரு சமபக்க முக்கோண வடிவில் ஒழுங்குபடுத்தத்தக்க ஒரு எண்ணாகும். (மரபின்படி, முதலாவது முக்கோண எண் 1 ஆகும்.) n -ஆம் முக்கோண எண் என்பது ஒரு பக்கத்திற்கு n புள்ளிகளெனக் கொண்ட சமபக்க முக்கோணத்துக்குள் அமையும் மொத்தப் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையாகும். ஒவ்வொரு வரிசையும் அதற்கு முன்னுள்ள வரிசையைக்காட்டிலும் ஒரு அலகு கூடுதலாக உள்ளது. இதன் மூலம் முதல் முக்கோண எண் 1; இரண்டாம் முக்கோண எண் 1+ 2 = 3; மூன்றாம் முக்கோண எண் 1 + 2 + 3 = 6;.... என இயல் எண் களின் கூட்டுத்தொகையாக ஒவ்வொரு முக்கோண எண்ணும் அமைவதைக் காணலாம். n -ஆம் முக்கோண எண்ணின் மதிப்பு 1 முதல் n வரையிலான இயல் எண்களின் கூடுதலுக்குச் சமமாக இருக்கும்.
முக்கோண எண்களின் தொடர்வரிசை (OEIS-இல் வரிசை A000217)
- 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55,.....
வாய்பாடு
[தொகு]- n -ஆம் முக்கோண எண்ணின் மதிப்பு 1 முதல் n வரையிலான இயல் எண்களின் கூடுதலுக்குச் சமம் என்பதால் முக்கோண எண்களுக்கான மீள்வரு வாய்ப்பாடு:
இவ்வாய்பாட்டை காட்சி நிறுவல் மூலம் விளக்கலாம்.[1]வலது இறுதியில் உள்ளது ஒரு ஈருறுப்புக் கெழு. இக்கெழு, n + 1 பொருள்களில் இருந்து தேர்ந்தெடுக்கக்கூடிய சோடிகளின் எண்ணிக்கையைத் தருகிறது. பெருக்கலில் உள்ள தொடர் பெருக்கத்தைப் போன்றவை கூட்டலுக்கு முக்கோண எண்கள். தொடர் பெருக்கம் n !, 1 முதல் n வரையிலான இயல் எண்களின் பெருக்கலுக்குச் சமம். முக்கோண எண் 1 முதல் n வரையிலான இயல் எண்களின் கூடுதலுக்குச் சமம்.
- ஒவ்வொரு புள்ளியையும் இணைத்து வரையக் கூடிய கோடுகளின் எண்ணிக்கையைப் பின்வரும் வாய்ப்பாடு மூலம் காணலாம்:
புள்ளிகள் மற்றும் இக்கோடுகளின் எண்ணிக்கைகளுக்கு இடையிலான விகிதத்தின் குறிப்பிடத்தக்கதொரு பண்பு:
ஒவ்வொரு முக்கோண எண் க்கும், அதற்குச் சமமான என்ணிக்கையிலான பொருட்களை கீழேயுள்ள படத்திலுள்ளதுபோல ஒரு அரைச்-செவ்வக வடிவில் அமைப்பதாகக் கொள்ளலாம். இதே அமைப்பின் படிமத்தைச் சுழற்றி முழுச் செவ்வகமாக உருவாக்கினால் அதிலுள்ள பொருட்களின் எண்ணிக்கை இரட்டிப்பாவதோடு அச்செவ்வகத்தின் அளவானது ஆக இருக்கும். மேலும் இன் மதிப்பு செவ்வகத்திலுள்ள பொருட்களின் எண்ணிக்கைக்குச் சமமாகவும் இருக்கும். எனவே:
- .
எடுத்துக்காட்டு:
- (பச்சையும் மஞ்சளும்)
- (பச்சை)
இவ்வாய்பாட்டை கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறையில் நிறுவமுடியும்.[2]
- எனில், இவ்வாய்பாடு உண்மையாவதை எளிதாகக் காணலாம்:
என்ற இயலெண்ணுக்கு இவ்வாய்ப்பாடு மெய் என எடுத்துக்கொள்ள:
- .
- இருபுறமும் ஐக் கூட்டக் கிடைப்பது:
அதாவது, வாய்பாடு என்ற மதிப்பிற்கு உண்மையாக இருக்கும்போது அது மதிப்பிற்கும் உண்மையாகிறது.
எனவே, கணிதத்தொகுத்தறிதலின்படி வாய்பாடு அனைத்து இயலெண் மதிப்புகளுக்கும் உண்மையாகும்.
வரலாறு
[தொகு]செருமானிய கணிதவியலாளர் கார்ல் பிரீடிரிக் காஸ், அவரது இளமைக்காலத்தில் இதனைக் கண்டறிந்ததாகக் கூறப்படுகிறது.[3] எனினும் இதனை முதன்முதலாகக் கண்டறிந்தவர் காஸ் அல்ல. கிமு 5 ஆம் நூற்றாண்டிலேயே இது அறியப்பட்டிருந்தது என்ற கருத்தும் உள்ளது[4] 816 இல், அயர்லாந்தைச் சேர்ந்த துறவி திக்குய்ல் என்பவரும் அவரது இயேசுவின் உயிர்த்தெழுதல் நாட்கணிப்பில் இதனைக் குறிப்பிட்டுள்ளார்.[5] திக்குய்லின் குறிப்புகளுக்கான ஆங்கில மொழிபெயர்ப்பும் உள்ளது.[6]
கைகுலுக்கல் சிக்கல்
[தொகு]"கைகுலுக்கல் சிக்கலுக்கான" தீர்வை முக்கோண எண் Tn தருகிறது. n + 1 நபர்கள் உள்ள ஓர் அறையில் ஒருவர் மற்ற ஒவ்வொருவருடனும் கைகுலுக்கினால் நிகழும் மொத்த கைகுலுக்கல்களின் எண்ணிக்கையை முக்கோண் எண் Tn அளிக்கிறது In other words, the solution to the handshake problem of n நபர்களின் கைகுலுக்கல் கணக்குக்கான விடை Tn−1 ஆகும்.[7]
தொடர்கூட்டல் சார்பு
[தொகு]அமெரிக்கக் கணினி அறிவியலாளரான டோனால்டு நத், தனது நூலில் n முழுஎண்களின் தொடர்பெருக்கத்துடன் ஒத்தவொன்றாக "தொடர்கூட்டல் சார்பு" ("Termial function") என்பதை உருவாக்கினார். [8] இத்தொடர்கூட்டலின் குறியீடு n? .இது முக்கோண எண் Tn க்குச் சமம்.
தொடர் பெருக்கம்:
- n! = 1.2.3....n
தொடர் கூட்டல்:
எடுத்துக்காட்டாக:
ஏனைய வடிவ எண்களுடனான தொடர்பு
[தொகு]முக்கோண எண்கள் மற்ற வடிவ எண்களோடு அதிகத் தொடர்புடையன.
எடுத்துக்காட்டுகள்:
- அடுத்தடுத்த இரு முக்கோண எண்களின் கூடுதல் ஒரு வர்க்க எண் (சதுர எண்). இக்கூடுதலின் மதிப்பு, இந்த இரு முக்கோண எண்களின் வித்தியாசத்தின் வர்க்கமாகும்.
6 + 10 = 16 | 10 + 15 = 25 |
மேலேயுள்ள ஒவ்வொரு எடுத்துக்காட்டிலும், இரண்டு பொருந்துகின்ற முக்கோணங்களிலிருந்து ஒரு சதுரம் அமைவதைக் காணலாம்.
- எண்ணற்ற முக்கோண எண்கள் வர்க்க எண்களாகவும் அமைகின்றன. அவற்றுள் சிலவற்றை பின்வரும் மீள்வரு வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்திக் காணலாம்:
- இதில்,
அனைத்து வர்க்க முக்கோண எண்களையும் பின்வரும் மீள்வரு வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்திக் காணலாம்.
- இதில் மற்றும்
- n -ஆம் முக்கோண எண்ணின் வர்க்கம் 1 முதல் n வரையிலான முழு எண்களின் கனங்களின் கூடுதலுக்குச் சமம்.
- 1 முதல் n வரையிலான முக்கோண எண்களின் கூடுதல் n ஆம் நான்முக எண்ணாகும்.
- பொதுவாக, n -ஆம் m -பலகோண எண் மற்றும் n -ஆம் (m + 1)-பலகோண எண்ணிற்குமுள்ள வித்தியாசம் (n – 1) -ஆம் முக்கோண எண்ணாக அமையும்.
எடுத்துக்காட்டு:
- ஆறாம் எழுகோண எண் = 81. ஆறாம் அறுகோண எண் = 66
- இவற்றின் வித்தியாசம் = 81 – 66 = 15. இது ஐந்தாம் முக்கோண எண்ணாகும். முக்கோண எண்களைப் பயன்படுத்தி எந்தவொரு மையப்படுத்தப்பட்ட பலகோண எண்ணையும் காணமுடியும்.
n -ஆம் மையப்படுத்தப்பட்ட k-கோண எண்ணைக் காணும் வாய்ப்பாடு:
- இங்கு -முக்கோண எண்;
- -n -ஆம் மையப்படுத்தப்பட்ட k-கோண எண்.
இரு முக்கோண எண்களின் நேர்ம வித்தியாசம் ஒரு சரிவக எண்.
மேற்கோள்கள்
[தொகு]- ↑ "Triangular Number Sequence". Math Is Fun.
- ↑ Spivak, Michael (2008). Calculus (4th ed.). Houston, Texas: Publish or Perish. pp. 21–22. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-914098-91-1.
- ↑ Hayes, Brian. "Gauss's Day of Reckoning". American Scientist. Computing Science. Archived from the original on 2015-04-02. பார்க்கப்பட்ட நாள் 2014-04-16.
- ↑ Eves, Howard. "Webpage cites AN INTRODUCTION TO THE HISTORY OF MATHEMATICS". Mathcentral. பார்க்கப்பட்ட நாள் 28 March 2015.
- ↑ Esposito, M. An unpublished astronomical treatise by the Irish monk Dicuil. Proceedings of the Royal Irish Academy, XXXVI C. Dublin, 1907, 378-446.
- ↑ Ross, H.E. & Knott, B.I."Dicuil (9th century) on triangular and square numbers." British Journal for the History of Mathematics, 2019,34 (2), 79-94. https://doi.org/10.1080/26375451.2019.1598687.
- ↑ "The Handshake Problem | National Association of Math Circles". MathCircles.org. Archived from the original on 10 March 2016. பார்க்கப்பட்ட நாள் 12 January 2022.
- ↑ Knuth, Donald. The Art of Computer Programming. Vol. 1 (3rd ed.). p. 48.
வெளி இணைப்புகள்
[தொகு]
- Triangular numbers at cut-the-knot
- There exist triangular numbers that are also square at cut-the-knot
- Weisstein, Eric W., "Triangular Number", MathWorld.
- Triangular numbers via 12 days of Christmas பரணிடப்பட்டது 2013-05-15 at the வந்தவழி இயந்திரம் by Vi Hart