நாள்மீன் பல்கோணி

ஒழுங்கான நாள்மீன் பல்கோணிகள்

{5/2} {7/2} {7/3} {8/3} {9/2} {9/4} {10/3} ...
சிலாஃப்லி குறியீடு 2<2q<p மீபொகா(p,q)=1	{p/q}
உச்சிகளும் விளிம்புகளும்	p
அடர்த்தி	q
காக்சீட்டர்–டைன்கின் வரைபடம்
சமச்சீர்த் தொகுப்பு	இருமுகம் (Dp)
இரட்டைப் பல்கோணி	தன் இருமம்
உட்கோணம் (பாகைகள்)	${\frac {180(p-2q)}{p}}$

நாள்மீன் பல்கோணி என்பது, குவிவில் பல்கோணி வகையைச் சார்ந்த பல்கோணி ஆகும். இது, ஒரு வட்டத்தின் பரிதியில் ஒழுங்கான இடைவெளிகளில் அமைந்த குறித்த எண்ணிக்கையான (p) புள்ளிகளை குறித்த எண்ணிக்கை (q) இடைவெளிகளுக்கு அப்பால் அமைந்த பிற புள்ளிகளுடன் கோடுகளின் மூலம் இணைப்பதனால் உருவாகும் வடிவம் ஆகும். இப்பல்கோணிகளை {p/q} என்னும் குறியீட்டால் குறிப்பது வழக்கு. இங்கே p, q என்பன நேர் முழு எண்கள். p நாள்மீன் பல்கோணியின் கூர் அல்லது மூலைகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது. q அப்பல்கோணியின் அடர்த்தி எனப்படுகிறது.

சொற்பிறப்பு

வடிவவியலில் இது ஒரு பல்கோணி வகையைச் சேர்ந்த வடிவமாதலாலும், நாள்மீனின் வடிவத்தை ஒத்திருப்பதாலும் இதற்கு நாள்மீன் பல்கோணி என்ற பெயர் ஏற்பட்டது. இக்கருத்துரு கிரேக்க மூலத்திலிருந்து உருவான "star polygon" என்னும் ஆங்கிலச் சொல்லின் தமிழாக்கமும் ஆகும். நாள்மீன் பல்கோணிகள் பல்வேறு எண்ணிக்கையில் முனைகளைக் கொண்டனவாக அமைவதால், அந்த எண்ணிக்கையை அடிப்படையாகக் கொண்ட பெயர்களால் அவை அழைக்கப்படுகின்றன. ஐந்து முனைகளையுடையது ஐம்முனை நாள்மீன் பல்கோணி எனப்படும். இவ்வாறே, எழுமுனை நாள்மீன் பல்கோணி, எண்முனை நாள்மீன் பல்கோணி, ஒன்பதுமுனை நாள்மீன் பல்கோணி என்று பெயர்கள் வழங்குகின்றன.

ஒழுங்கான நாள்மீன் பல்கோணி

வடிவவியலில், ஒரு "ஒழுங்கான நாள்மீன் பல்கோணி" என்பது, தன்னுள் வெட்டிக்கொள்கின்ற சமபக்க, சமகோண பல்கோணி ஆகும். இது எளிமையானதும் ஒழுங்கானதுமான குறித்த எண்ணிக்கைப் பக்கங்களைக் கொண்ட பல்கோணியின் உச்சியொன்றை அதற்கு அடுத்ததாக அல்லாத இன்னொரு உச்சியுடன் தொடர்ச்சியாகத் தொடங்கிய உச்சிக்கு மீண்டும் வரும்வரை இணைப்பதன் மூலம் பெறப்படுகின்றது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு ஒழுங்கான ஐங்கோணி ஒன்றில், ஒரு உச்சியை அதிலிருந்து மூன்றாவது உச்சியுடனும், மூன்றாவது உச்சியை ஐந்தாவது உச்சியுடனும், ஐந்தாவது உச்சியை இரண்டாவது உச்சியுடனும், இரண்டாவது உச்சியை நான்காவது உச்சியுடனும், நான்காவது உச்சியைத் தொடங்கிய இடமான முதலாவது உச்சியுடனும் இணைக்கும்போது ஐம்முனை நாள்மீன் பல்கோணி பெறப்படும். இத்தகைய நாள்மீன் பல்கோணி ஒன்றின் குறியீடு முன்னர் குறிப்பிட்டதுபோல் {p/q} என இருக்கும். இது {p/p-q} என்பதற்குச் சமனானது. p உம் q உம் சார்பகா எண்களாக இருக்கும்போது ஒழுங்கான நாள்மீன் பல்கோணி பெறப்படும். ஒரு ஒழுங்கான குவிந்த பல்கோணியை நாள்மீனாக்கும் போதும் ஒழுங்கான நாள்மீன் பல்கோணி பெறப்படும். தாமசு பிராட்வார்டைன் என்பவரே ஒழுங்கான நாள்மீன் பல்கோணிகள் பற்றி முதன்முதலில் ஆய்வு செய்தவர் ஆவார்.

எடுத்துக்காட்டு

நாள்மீன் வடிவங்கள்

நாள்மீன் வடிவம்
அறுமுனைகள்
2{3} அல் {6/2}

நாள்மீன் வடிவம்
ஒன்பது முனைகள்
3{3} அல் {9/3}

பக்கங்களின் எண்ணிக்கை n, m இனால் வகுக்கப்படலாம் ஆயின், பெறப்படும் நாள்மீன் பல்கோணி n/m பக்கங்களைக் கொண்டதாக இருக்கும். இவ்வாறு பெறப்படும் n/m பல்கோணியை தொடக்கப் பல்கோணியில் உள்ள அடுத்தடுத்த புள்ளிக்கு n/m - 1 எண்ணிக்கை வரும்வரை சுழற்றி எல்லாவற்றையும் ஒன்று சேர்க்கும்போது புதிய வடிவம் பெறப்படும். n/m = 2 ஆக இருக்கும்போது, n/2 எண்ணிக்கையான நேர்கோடுகள் பெறப்படும். இதைச் சிதைந்த நாள்மீன் பல்கோணி என்பர்.

n உம் m உம் பொதுக் காரணியைக் கொண்டிருக்கும்போது குறைந்த எண்ணிக்கைப் பக்கங்களுடன் கூடிய நாள்மீன் பல்கோணி கிடைக்கும். இதன் சுழற்றிய வடிவங்களை ஒன்றிணைக்க முடியும். இவ்வடிவங்கள் "நாள்மீன் வடிவங்கள்", "முறையற்ற நாள்மீன் பல்கோணிகள்" அல்லது "கூட்டுப் பல்கோணிகள்" எனப்படும். இவ்வாறான பல்கோணிகளுக்கும் {n/m} என்னும் குறியீட்டைப் பயன்படுத்துவது உண்டு. ஆனாலும் குரூன்போன் (1994) போன்றோர் k{n} என்னும் குறியீடு கூடுதல் சரியாக இருக்கும் என்கின்றனர். இதில் பொதுவாக k = m.

கூட்டுப் பல்கோணிகளின் குறியீடு தொடர்பில் மேலும் சில சிக்கல்கள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, ஐம்முனை நாள்மீன் பல்கோணியின் - யால் சுழற்றப்பட்ட வடிவங்களின் கூட்டு வடிவத்தைக் குறிப்பிடலாம். இதை {10/4} எனக் குறிப்பிடுவதைவிட k{n/m} என்னும் வடிவில் அமைந்த 2{5/2} எனக் குறிப்பிடுவதே சரியாக இருக்கும்.

வெளியிணைப்புக்கள்

• Weisstein, Eric W., "Polygram", MathWorld.
• நாள்மீன் பல்கோணிகள் – java applet பரணிடப்பட்டது 2011-07-18 at the வந்தவழி இயந்திரம்