நண்பர்களும் அன்னியர்களும் கணிதத் தேற்றம்

நண்பர்களும் அன்னியர்களும் என்பதைப் பற்றிய கணிதத் தேற்றம் ராம்சே கோட்பாடு என்ற கணிதப் பிரிவைப் பாமரருக்கும் காண்பித்துக் கொடுக்கும் தேற்றமாகும்.

வரையறை

இத்தேற்றத்தைப் பற்றின மட்டில் இரு நபர்கள் இதற்கு முன் கை குலுக்கலோ அல்லது ஒருவருக்கொருவர் வணக்கம் தெரிவித்தலோ செய்திருந்தால் அவர்களை நண்பர்கள் என்போம். இரு நபர்கள் நண்பர்களாக இல்லாவிட்டால் அவர்களை அன்னியர்கள் என்போம்.

இவ்வரையறையின் சிறப்பு என்னவென்றால், உலகத்திலுள்ள எந்த இரு நபர்களைக் காட்டினாலும் அவர்கள் நண்பர்களா அன்னியர்களா என்பதில் இப்பொழுது ஐயமே இருக்கமுடியாது. நமக்கு தெரியாமலிருக்கலாம். ஆனால் அவர்கள் நண்பர்களாகவோ அன்னியர்களாகவோ ஏதாவது ஒன்றாக இருந்துதான் ஆகவேண்டும். கணிதமரபின் துல்லியம் என்ற கட்டாயத்திற் குகந்த வரையறையிது.

தேற்றத்தின் வாசகம்

ஆறு நபர்கள் ஒரு இடத்தில் காணப்படுகிறார்கள். அவர்களுக்குள் யார் யார் நண்பர்கள், யார் யார் அன்னியர்கள் என்பது தெரியாது. எப்படியிருந்தாலும் அவர்களுக்குள் மூவராவது ஒருவருக்கொருவர் நண்பர்களாக இருப்பார்கள்; அல்லது, மூவராவது ஒருவருக்கொருவர் அன்னியர்களாக இருப்பார்கள்.

நிறுவலுக்காக உருவகம்

முதலில் இந்தச் சிக்கலைத் துல்லியமாக உருவகப்படுத்துவதற்காக, ஒவ்வொருவருக்கும் ஒரு பெயர் கொடுப்போம். ஆறு நபர்களுக்கும் A, B, C, D, E, F என்று பெயர் கொடுத்து அவைகளை ஆறு புள்ளிகளாகவும் கொள்வோம். இரு நபர்கள் நண்பர்கள் என்பதை உருவகப்படுத்த அவர்களுக்குரிய புள்ளிகளை ஒரு நேர்கோட்டால் சேர்க்கலாம். ஒரு எடுத்துக்காட்டாக படிமம் 1 ஐப்பார்க்கவும். இதனில் A யும் B யும் நண்பர்கள். B யும் C யும், A யும் Dயும், C யும் F உம் ஒருவருக்கொருவர் நண்பர்கள்.வேறு விதமாக அவர்களுக்குள் நண்பர் உறவு இல்லை.அதனால் AB, BC, AD, CF என்ற கோடுகளைத்தவிர வேறு கோடுகள் கிடையாது. மாதிரிக்காகக் காணப்பட்ட இவ்வுருவகத்தில் எந்த மூவரும் ஒருவருக்கொருவர் நண்பராக இல்லை. ஆனால் A, C, E என்ற மூவரும் ஒருவருக்கொருவர் அன்னியர்களாக உள்ளனர். அவர்கள் மூவருக்குள் ஒரு கோடும் கிடையாது. மாதிரி உருவகத்தில் தேற்றத்தின் வாசகம் உண்மையாயிருப்பது போதாது. இது தேற்றத்தின் நிறுவலாகமுடியாது. தேற்றத்திற்கு நிறுவல் வேண்டுமென்றால், எல்லாவித உறவு நிலைகளுக்கும் வாசகம் பொருந்தும் என்று காட்டவேண்டும்.

எந்த உறவுநிலையிலும் A, B, C, D, E, F என்ற புள்ளிகளுக்குள் எவைகளுக்கிடையில் கோடுகள் உள்ளன, எவைகளுக்கிடையில் கோடுகள் இல்லை என்பது தான் அடிமட்டக் கேள்வி. A என்ற புள்ளியைக் கவனி. அதிலிருந்து மற்ற ஐந்து புள்ளிகளுக்கும் ஐந்து கோடுகள் இருக்கக்கூடிய வாய்ப்புக்கூறுகள் உள்ளன.இவ்வைந்து கோடுகளில் எவ்வளவு கோடுகள் குறிப்பிட்ட படத்தில் உள்ளன என்பது படத்தைப்பார்த்தால் தெரியும். ஆனால் குறிப்பிட்ட படம் என்பது ஒரு படம் அல்ல. நம் கற்பனையில் இருக்கக்கூடிய எல்லா படங்களிலும் இவ்வாய்ப்புக்கூறுகள் எப்படியெல்லாம் இருக்கக்கூடும்? எல்லா நிலைகளிலும் பொதுவாக ஒரு உண்மை இருக்கிறது. எல்லா நிலைகளும் குறைந்த பட்சம் மூன்று கோடுகளாவது உள்ளவையோ அல்லது குறைந்த பட்சம் மூன்று கோடுகளாவது இல்லாதவையோ தான். இதுதான் பொதுவான உண்மை.

புறாக்கூண்டுத் தத்துவம்

ஆக இத்தேற்றத்தில் எல்லா நிலைகளும் இரண்டே வகையாகப் பிரிகின்றன என்று கண்டோம். ஐந்து பொருட்களை இரண்டே வகையாகப் பிரிக்கும்போது ஏதாவது ஒரு வகையில் பாதிக்கு மேல் இருந்தே ஆகவேண்டும் என்ற எளிமையான தத்துவம் தான் இது. இத்தத்துவத்திற்கு புறாக்கூண்டு தத்துவம் (pigeon-hole principle) என்று பெயர்.

பெயர்க்காரணம்

ஏன் இதற்குப் புறாக்கூண்டு தத்துவம் என்று பெயர் வந்தது? அத்தத்துவத்தை ஆரம்பகாலங்களில் விளக்கினவர்களெல்லாம் 'புறாக்கள் அதிகமாகவும் புறாக்கூண்டுகள் குறைவாகவும் இருந்தால் ஏதாவது ஒரு புறாக்கூண்டில் ஒரு புறாவுக்குமேல் இருந்தாக வேண்டும்' என்றுதான் விளக்கினார்கள். அதனால் தான் இப்பெயர்.

தேற்றத்தின் நிறுவல் முடிவு

(A,B), (A,C), (A,D), (A,E), (A,F) என்ற ஐந்து ஜோடிப்புள்ளிகளை ஜோடிக்குள் இணைக்கும் கோடு உள்ளதா இல்லாததா என்று இருவகையாகப் பிரிக்கும்போது ஏதாவது ஒரு வகையில் மூன்று ஜோடிகளாவது இருக்கும் என்பது தான் தற்போதைய பிரச்சினைக்கு (சிக்கலுக்கு) இப்புறாக்கூண்டு தத்துவத்தின் செயல்முறைப் பயன்.

முதல் வகையில்

ஜோடிப்புள்ளிகளை ஜோடிக்குள் இணைக்கும் கோடுகள் மூன்று இருக்கும் முதல் வகையைப் பார்ப்போம். பொதுத்தன்மைக்குக் குந்தகமில்லாமல் அம்மூன்றும் AB, AC, AD என்று வைத்துக்கொள்ளலாம். இப்பொழுது B, C, D மூன்றையும் கவனிப்போம். இரண்டு சாத்தியக்கூறுகள் (வாய்ப்புக்கூறுகள் உள்ளன) ஒன்று, B, C, D, மூன்றுக்கும் இடையே இணைக்கும் கோடே கிடையாது. அப்படியானால் B,C, D மூவரும் அன்னியர்கள் என்ற நிலை ஏற்படுகிறது. இரண்டாவது சாத்தியக்கூறு (வாய்ப்புக்கூறு) B, C, D, மூன்றுக்கும் இடையே ஏதாவது ஒரு கோடாவது இருக்கிறது. பொதுத்தன்மைக்குக் குந்தகமில்லாமல் அதை BC என்று வைத்துக்கொள்ளலாம். அப்பொழுது, A, B, C, மூவரில் மூன்று கோடுகளும் உள்ளன. இதற்குப் பொருள் A, B, C, மூவரும் ஒருவருக்கொருவர் நண்பர்கள். ஆக, தேற்றத்தில் சொல்லியபடி நிறுவியாகிவிட்டது.

இரண்டாவது வகையில்

இவ்வகையில் ஜோடிப்புள்ளிகளை ஜோடிக்குள் இணைக்கும் கோடுகளே இல்லாத மூன்று உள்ளன. பொதுத்தன்மைக்குக் குந்தகமில்லாமல் அம்மூன்று ஜோடிகளும் (A,B), (A,C), (A,D) என்று வைத்துக்கொள்ளலாம். இப்பொழுது B, C, D, மூன்றையும் கவனி. முன்போல் இரண்டு சாத்தியக்கூறுகள் (வாய்ப்புக்கூறுகள்). ஒன்று, B, C, D, மூன்றும் ஒன்றுக்கொன்று இணைக்கப்பட்டிருக்கின்றன.அப்படியானால் மூவரும் ஒருவருக்கொருவர் நண்பர்கள் என்ற நிலை ஏற்படுகிறது. இரண்டாவது சாத்தியக்கூறு (வாய்ப்புக்கூறு) B, C, D, மூவருக்குள் ஏதோ இருவராவது இணைக்கப்படவில்லை. பொதுத்தன்மைக்குக் குந்தகமில்லாமால் அவை B, C என்று வைத்துக்கொள்ளலாம். அப்பொழுது, A, B, C, மூவரில் யாருமே இணைக்கப் படவில்லை. இதற்குப் பொருள் A, B, C மூவரும் அன்னியர்கள். ஆக, தேற்றத்தில் சொல்லியபடி நிறுவியாகிவிட்டது.

தேற்றத்தின் கோலக்கோட்பாட்டு வாசகம்

ஆறு புள்ளிகளைக்கொண்டு வரையப்பட்ட ஒரு முழுக்கோலத்தில், அதன் 15 கோடுகளையும் இரு நிறங்களால் நிறப்படுத்தினால், ஏதாவது ஒரு முக்கோணமாவது ஒரேநிறக் கோடுகளைக் கொண்டதாக இருக்கும். அது ஒரேநிற முக்கோணம் எனப்படும்.

நிறங்களை சிவப்பு, பச்சை என்றும், பச்சைக் கோடுகளால் இணைக்கப்பட்ட புள்ளிகள் நண்பர்களையும், சிவப்புக்கோடுகளால் இணைக்கப்பட்டவர்கள் அன்னியர்கள் என்றும் கொண்டால், இது 'நண்பர்களும் அன்னியர்களும்' தேற்றத்தின் மறு அவதாரமே.

எண் 6 இன் முக்கியத்துவம்

எண் 6 க்கு பதிலாக அதைவிட பெரிய எண் எதையும் எடுத்துக்கொண்டு அத்தனை புள்ளிகளால் ஏற்படும் முழுக்கோலத்தின் கோடுகளை இருநிறப்படுத்தினால், ஒரேநிற முக்கோணம் இருந்தே தீரும் என்பதில் ஐயமில்லை. ஏனென்றால் 6 க்கு அதிகமான புள்ள்ளிகளை விட்டு விட்டுப்பார்த்தால், தேற்றத்தின்படி ஒரேநிறமுக்கோணம் இருந்தாகவேண்டும். எண் 6 ஐவிட சிறிய எண்ணை எடுத்துக்கொண்டால் அதே முறையில் தீர்வு சொல்ல முடியாது. படிமம் 3 ஐப்பார்க்கவும். இங்கு 5 புள்ளிகளைக்கொண்டு முழுக்கோலம் வரையப்பட்டு, கோடுகள் இரு நிறங்களாக்கப் பட்டிருக்கின்றன. ஆனால் ஒரேநிற முக்கோணம் இல்லை. இதனால் தெரிவது, 'நண்பர்கள் அன்னியர்கள் தேற்றத்தில், 6 என்ற எண், தேற்றத்தில் சொல்லிய பண்பையுடைய எல்லா எண்களிலும் சிறியது. இதையே கணிதக் குறியீடுகளில் சொன்னால், N(3, 3 ; 2) = 6 என்போம்.

இங்கு N(3, 3; 2) என்பது 'புள்ளிகளைக்கொண்டு வரையப்பட்ட ஒரு முழுக்கோலத்தில், அதன் எல்லாக் கோடுகளையும் இரு நிறங்களால் நிறப்படுத்தினால், ஏதாவது ஒரு முக்கோணமாவது ஒரேநிறக் கோடுகளைக் கொண்டதாக இருக்கும்' என்ற பண்பையுடைய எல்லா எண்களிலும் சிறிய எண்ணைக்குறிக்கும். இரு நிறங்கள் என்பதைக்குறிக்க 2 என்ற எண்ணும், முதல் நிறத்தில் முக்கோணத்தை எதிர்பார்க்கிறோம் என்பதற்காக முதன்முறை 3 என்ற எண்ணும், இரண்டாவது நிறத்தில் முக்கோணத்தை எதிர்பார்க்கிறோம் என்பதற்காக இரண்டாவது முறை 3 என்ற எண்ணும் குறியீட்டில் சேர்க்கப்பட்டிருக்கின்றன.

N(3,3; 2) என்ற எண்ணுக்கு ராம்ஸே எண் என்று பெயர். இதை R(3,3) என்றும் எழுதுவதுண்டு. R என்ற எழுத்து ராம்ஸே எண் என்பதைக் குறிக்கும். 1930 இல் F.P. ராம்ஸே என்பவர் இம்மாதிரி எண்கள் உள்ளன என்பதை நிறுவினார். அவருடைய தேற்றத்தினால் இன்று ராம்ஸே கோட்பாடு என்ற ஒரு பெரிய கணித உட்பிரிவே, சேர்வியல் என்ற கணிதப்பிரிவின் ஒரு நடப்பாய்வுப் பிரிவாகத் திகழ்கிறது.

இவற்றையும் பார்க்கவும்

• ராம்ஸே தேற்றம்

துணை நூல்கள்

• M. Gardner, The Colossal Book of Mathematics, W. W. Norton & Co, 2001
• V. Krishnamurthy. Culture, Excitement and Relevance of Mathematics, Wiley Eastern, 1990. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 81-224-0272-0.