தொகையீட்டுச் சமன்பாடு

கணிதத்தில் தொகையீட்டுச் சமன்பாடு (integral equation) என்பது தெரியாத சார்பைத் தொகையீட்டுக் குறியீட்டின்கீழ் கொண்ட ஒரு கணிதச் சமன்பாடாகும். வகையீட்டுச் சமன்பாடுகளுக்கும் தொகையீட்டுச் சமன்பாடுகளுக்கும் நெருங்கிய தொடர்புள்ளது.

கண்ணோட்டம்

• மிக அடிப்படையான தொகையீட்டுச் சமன்பாடுகள் ஃபிரெதோல்ம் சமன்பாடுகள் (Fredholm equation) ஆகும்.

முதல் வகை :

$f(x)=\int \limits _{a}^{b}K(x,t)\,\varphi (t)\,dt.$

இங்கு,

φ -தெரியாத ஒரு சார்பு

K -இருமாறிகளில் அமைந்த தெரிந்த சார்பு. இச்சார்பு பெரும்பாலும் கெர்னல் சார்பு என அழைக்கப்படுகிறது.

தொகையீட்டு எல்லைகள் இரண்டும் மாறிலிகள்

இரண்டாம் வகை:

இவ்வகையில் தொகையீட்டுக்குறிக்கு உள்ளும் புறமும் தெரியாத சார்புகள் அமையும்.

$\varphi (x)=f(x)+\lambda \int \limits _{a}^{b}K(x,t)\,\varphi (t)\,dt.$

இங்கு λ தெரியாத காரணி.

• தொகையீட்டின் எல்லைகள் இரண்டும் சார்புகளாக இருந்தால் மேலே தரப்பட்டுள்ள இரு சமன்பாடுகளும் வோல்டரா தொகையீட்டுச் சமன்பாடுகளின் முதல் மற்றும் இரண்டாம் வகை சமன்பாடுகளாக (Volterra integral equation) மாறும்.

$f(x)=\int \limits _{a}^{x}K(x,t)\,\varphi (t)\,dt$

$\varphi (x)=f(x)+\lambda \int \limits _{a}^{x}K(x,t)\,\varphi (t)\,dt.$

மேலே தரப்பட்ட நான்கிலும் சார்பு f பூச்சியத்துக்கு ஒப்பானால் சமன்பாடுகள் சமபடித்தான தொகையீட்டுச் சமன்பாடுகள் எனவும் பூச்சியமாக இல்லையெனில் சமபடித்தான தொகையீட்டுச் சமன்பாடுகள் எனவும் அழைக்கப்படுகின்றன.

வகைப்பாடு

தொகையீட்டில் எல்லைகள், தெரியாத சார்பு இடம்பெறும் நிலை மற்றும் தெரிந்த சார்பின் தனமை ஆகிய மூன்று கருத்துக்களைக் கொண்டு தொகையீட்டுச் சமன்பாடுகளை எட்டு வகைச் சமன்பாடுகளாகப் பிரிக்கலாம்:

தொகையீட்டு எல்லைகள்

இரண்டும் மாறிலிகள்: ஃபிரெதோல்ம் சமன்பாடு

ஒரு மாறி: வோல்டெர்ரா சமன்பாடு

தெரியாத சார்புகள் அமையும் இடம்

தொகையீட்டுக் குறியீட்டுக்குள்: முதல் வகை

தொகையீட்டுக் குறியீட்டுக்குள்ளும் வெளியிலும்: இரண்டாம் வகை

தெரிந்த சார்பு f -ன் தன்மை

பூச்சியம்: சமபடித்தானது

பூச்சியம் அல்ல: அசமபடித்தானது

தொகையீட்டுச் சமன்பாடுகள் மிகவும் முக்கியமான பல பயன்பாடுகள் கொண்டவை. கதிரியக்கச் சக்தி மாற்றல், கம்பி, அச்சு, சவ்வு போன்றவற்றின் அலைவு ஆகியவற்றில் தொகையீட்டுச் சமன்பாடுகள் பயன்படுகின்றன. அலைவு கணக்குகளுக்கு வகையீட்டுச் சமன்பாடுகள் மூலமாகவும் தீர்வு காணப்படலாம்.

சார்பு φ(x) -ன் நேரியல் தன்மையால், ஃபிரெதோல்ம் மற்றும் வோல்டெர்ரா சமன்பாடுகள் இரண்டுமே நேரியல் சமன்பாடுகள்.

நேரியலற்ற வோல்டெர்ரா தொகையீட்டுச் சமன்பாட்டின் பொதுவடிவம்:

$\varphi (x)=f(x)+\lambda \int \limits _{a}^{x}K(x,t)\,F(x,t,\varphi (t))\,dt.$,

இங்கு தெரியாத சார்பு -F.

மேற்கோள்கள்

• George Arfken and Hans Weber. Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press, 2000.
• Andrei D. Polyanin and Alexander V. Manzhirov Handbook of Integral Equations. CRC Press, Boca Raton, 1998. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-8493-2876-4.
• E. T. Whittaker and G. N. Watson. A Course of Modern Analysis Cambridge Mathematical Library.
• M. Krasnov, A. Kiselev, G. Makarenko, Problems and Exercises in Integral Equations, Mir Publishers, Moscow, 1971
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Chapter 19. Integral Equations and Inverse Theory". Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). New York: Cambridge University Press. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-521-88068-8.

வெளி இணைப்புகள்

• Integral Equations: Exact Solutions at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Integral Equations: Index at EqWorld: The World of Mathematical Equations.