இரௌத்தின் தேற்றம்

இரௌத்தின் தேற்றம் அல்லது இரூத்தின் தேற்றம்

வடிவவியலில் இரௌத்தின் தேற்றம் அல்லது இரூத்தின் தேற்றம் (Routh's theorem) என்பது ஏதாவது கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் ஒன்றின் பரப்பளவுக்கும், அம் முக்கோணத்தின் விழுகோடுகள் தங்களை வெட்டிக்கொள்வதால் இடையே உண்டாகும் முக்கோணத்தின் பரப்பளவுக்கும் உள்ள விகிதத்தைப் பற்றியது ஆகும். இத் தேற்றம் என்ன சொல்லுகின்றது என்றால் ABC என்னும் முக்கோணத்தின் பரப்பு A_ABC (படத்தில் வெளியில் உள்ள முக்கோணம்) என்றும், F, D , E ஆகிய மூன்று புள்ளிகளும் முறையே விழுகோடுகள் பக்கங்கள் AB , BC, AC ஆகியவற்றை முட்டும் இடங்களாகவும் கொண்டால், வெளி முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு பக்கத்தின் வெட்டுப் பகுதிகளைக் கீழ்க்காணும் விகிதமாக முதலில் எழுதலாம்:

${\overline {AF}}/{\overline {BF}}=r$

${\overline {BD}}/{\overline {CD}}=s$

${\overline {CE}}/{\overline {AE}}=t$

இப்பொழுது விழுகோடுகள் வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ளிகளாக I, G , H ஆகிய மூன்றையும் கொண்டால், GHI என்னும் முக்கோணத்தின் பரப்பளவு(உள்ளே சிறிய சிவப்பு நிற முக்கோணம்):

$A_{GHI}={\frac {(rst-1)^{2}}{(st+s+1)(rt+t+1)(rs+r+1)}}A_{ABC}.$

என்று கூறுகின்றது இத் தேற்றம்.

இத்தேற்றத்தை எடுவர்டு சான் இரௌத்து (Edward John Routh), 1896 இல் வெளியான Treatise on Analytical Statics with Numerous Examples என்னும் நூலில் 82 ஆம் ப்க்கத்தில் விளக்கியுள்ளார்.

உசாத்துணை

• Murray S. Klamkin and A. Liu (1981) "Three more proofs of Routh's theorem", Crux Mathematicorum 7:199–203.
• H. S. M. Coxeter (1969) Introduction to Geometry, statement p. 211, proof pp. 219–20, 2nd edition, Wiley, New York.
• J. S. Kline and D. Velleman (1995) "Yet another proof of Routh's theorem" (1995) Crux Mathematicorum 21:37–40
• Routh's Theorem, Jay Warendorff, The Wolfram Demonstrations Project.
• Weisstein, Eric W., "Routh's Theorem", MathWorld.
• Routh's Theorem by Cross Products at MathPages