இயல்நிலை உட்குலம்

கணிதத்தில் இயல்நிலை உட்குலம் (Normal subgroup) குலக்கோட்பாட்டில் ஒரு முக்கிய கருத்து. G என்ற குலத்திலுள்ள H என்ற ஓர் உட்குலத்திலுள்ள ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் அதன் இணையியங்கள் எல்லாம் அதனுள்ளேயே இருந்தால் அவ்வுட்குலம் ஓர் இயல்நிலை உட்குலமாகும். முதன்முதலில் கால்வா இக்கருத்தைப் பயன்படுத்தினார்.

உள் தன்னமைவியம்

G ஒரு குலம் என்றும் அதனில் g ஒரு குறிப்பிட்ட உறுப்பாகவும் கொள்வோம்.

இப்பொழுது $Aut$_g இன் இலக்கணம்:

$Aut$_g : $G\rightarrow G$

$a\mapsto gag^{-1}$

அதாவது ஒவ்வொரு $a\in G$ க்கும் $Aut$_g($a$) =$gag^{-1}$.

$Aut$_g ஓர் உள் தன்னமைவியம் (Inner Automorphism) எனப்படும். இன்னும் துல்லியமாகச்சொல்லவேண்டுமானால், இதை g இனால் நிர்ணயிக்கப்பட்ட உள் தன்னமைவியம் என்றே சொல்ல வேண்டும்.

இயல்நிலை உட்குலத்தின் வரையறை

ஒரு குலம் G இன் உட்குலம் H ஒரு இயல்நிலை உட்குலம் என்று சொல்லப்படவேண்டுமானால்,G இன் ஒவ்வொரு உள் தன்னமைவியத்திற்கும் H மாறுபடாமல் இருக்கவேண்டும். வேறு விதமாகச்சொன்னால், கீழேயுள்ள பண்பு உடைத்ததாய் இருக்கவேண்டும்:

G இலுள்ள எல்லா g க்கும் $gHg^{-1}=H$

அல்லது, இன்னும் குறைவாக G இலுள்ள எல்லா g க்கும் $gHg^{-1}\subseteq H$என்றிருந்தால் போதும்.

அல்லது, H இலுள்ள ஒவ்வொரு hக்கும் Gஇலுள்ள எந்த g யையும் பயன்படுத்தி, இணையியம் கணக்கிட்டாலும் அது Hக்குள்ளேயே இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

1. நான்கு உறுப்புகளின் வரிசைமாற்றக்குலத்தில் மாறிசைக்குலமாக இருக்கும் A₄ ஐ எடுத்துக்கொள்வோம். இதனில் 12 உறுப்புகள் உள்ளன. அவையெல்லாம் நான்கு உறுப்புகளின் இரட்டை வரிசைமாற்றங்கள். H =A₄ , G = S₄,இல் ஓர் இயல் நிலைக்குலம் என்று கண்டுகொள்ளலாம். சில மாதிரிக்கணித்தல்கள்:

(234) {(14)(23)} (243) = (12)(34) ஆகையால், (12)(34), (234) மூலம் (14)(23) இன் இணையியம்.

(1324){(14)(23)} = (13)(24) ஆகையால், (13)(24), (1324) மூலம் (14)(23) இன் இணையியம்.

2. A₄க்குள் நான்முகிக் குலம் V ஓர் இயல்நிலைக்குலமாகும்.