அரைச்சுற்றளவு

வடிவவியலில், ஒரு பல்கோணத்தின் அரைச்சுற்றளவு (semiperimeter) என்பது அதன் சுற்றளவில் பாதியளவாகும். வாய்ப்பாடுகளில் பயன்படுத்தப்படும் போது, அரைச்சுற்றளவானது s என்ற குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகிறது.

முக்கோணங்கள்

ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு உச்சியிலிருந்து, அதன் எதிர்ப் பக்கத்தின் வெளிவட்டம் எதிர்ப்பக்கத்தைத் தொடும் புள்ளிவரை உள்ள தொலைவை, முக்கோணத்தின் வரம்பு வழியாகவே அளக்க, அது முக்கோணத்தின் அரைச்சுற்றளவுக்குச் சமமாக இருக்கும்.

பெரும்பாலும் முக்கோணங்களில் அரைச்சுற்றளவு பயன்படுகிறது. ஒரு முக்கோணத்தின் அரைச்சுற்றளவு s இன் வாய்ப்பாடு:

$s={\frac {a+b+c}{2}}.$ (a , b , c முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்கள்

பண்புகள்

• ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு உச்சி மற்றும் அந்த உச்சியின் எதிர்ப் பக்கத்தின் வெளிவட்டம் அப் பக்கத்தைச் சந்திக்கும் புள்ளி இரண்டும், முக்கோணத்தின் சுற்றளவை சமநீளங்கள் கொண்ட இரு பாகங்களாகப் பிரிக்கின்றன. மேலும் அவ்விரு சமபாகங்களின் நீளம், முக்கோணத்தின் அரைச்சுற்றளவிற்குச் சமமாக இருக்கும்.

முக்கோணத்தின் உச்சிகள் A, B, C ஒவ்வொன்றின் எதிர்ப் பக்கங்களின் வெளிவட்டங்கள் அப் பக்கங்களைத் தொடும்புள்ளிகள் முறையே, A', B', C' எனில், கோட்டுத்துண்டுகள் AA', BB', CC' மூன்றும் முக்கோணத்தின் பிளப்பிகள் என்றறியப்படுகின்றன. மேலும்,

$s=|AB|+|A'B|=|AB|+|AB'|$

$=|AC|+|A'C|=|AC|+|AC'|$

$=|BC|+|B'C|=|BC|+|BC'|.$

இம் மூன்று பிரிக்கும் கோடுகளும் ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கும் கோடுகள் ஆகும். அவை சந்திக்கும் புள்ளி, நாகெல் புள்ளி எனப்படுகிறது.

• ஒரு முக்கோணத்தின் உள்வட்ட மையத்தின் வழிச் செல்லும் ஒரு கோடு, முக்கோணத்தின் பரப்பளவை இருசமக்கூறிடுவதாக ”இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே”, அக்கோடு முக்கோணத்தின் சுற்றளவையும் இருசமக்கூறிடும்.
• ஒரு முக்கோணத்தின் அரைச்சுற்றளவானது அம் முக்கோணத்தின் நடுப்புள்ளி முக்கோணத்தின் சுற்றளவுக்குச் சமமாக இருக்கும்.
• அடிப்படை முக்கோணச் சமனிலியின்படி, முக்கோணத்தின் மிகப்பெரிய பக்கத்தின் நீளம் அம் முக்கோணத்தின் அரைச்சுற்றளவைவிடச் சிறியதாக இருக்கும்.

அரைச்சுற்றளவு கொண்ட வாய்ப்பாடுகள்

• $K=rs$ (முக்கோணத்தின் பரப்பு K )
• $K={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}$
• $R={\frac {abc}{4{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}$ (முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்ட ஆரம் R)
• $r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}$ (முக்கோணத்தின் உள்வட்ட ஆரம் r)
• கோடேன்ஜெண்ட் விதி

$\cot {\frac {\alpha }{2}}={\frac {s-a}{r}}$

$\cot {\frac {\beta }{2}}={\frac {s-b}{r}}$

$\cot {\frac {\gamma }{2}}={\frac {s-c}{r}}$

• முக்கோணத்தில், a நீளம் கொண்ட பக்கத்திற்கு எதிர்க் கோணத்தின் உட்கோண இருசமவெட்டியின் நீளம்

$t_{a}={\frac {2{\sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}}.$

செங்கோண முக்கோணத்தில்,

• செம்பக்கத்தின் வெளிவட்ட ஆரமானது முக்கோணத்தின் அரைச்சுற்றளவுக்குச் சமமாக இருக்கும்.
• உள்வட்டம் மற்றும் சுற்றுவட்டத்தின் இருமடங்கு ஆகிய இரண்டின் கூட்டுத்தொகையானது அரைச்சுற்றளவிற்குச் சமமாக இருக்கும்.
• செங்கோண முக்கோணத்தின் பரப்பளவு:

$(s-a)(s-b)$ (a , b செங்கோண முக்கோணத்தின் தாங்கு பக்கங்கள்)

நாற்கரங்கள்

a, b, c , d பக்கநீளங்கள் கொண்ட நாற்கரத்தின் அரைச்சுற்றளவின் வாய்ப்பாடு:

$s={\frac {a+b+c+d}{2}}.$

• அரைச்சுற்றளவு மற்றும் உள்வட்ட ஆரம் அடங்கிய முக்கோணத்தின் பரப்பளவு காணப் பயன்படும் வாய்ப்பாடு தொடு நாற்கரங்களுக்குக்கும் பொருந்தும்.

தொடு நாற்கரத்தின் உள்வட்ட ஆரம் r, அரைச்சுற்றளவு s, பரப்பளவு k எனில்:

$K=rs$

• பிரம்மகுப்தரின் வாய்ப்பாட்டின் எளிய வடிவம் a, b, c, d -ஐ பக்க நீளங்களாகக் கொண்ட வட்ட நாற்கரத்தின் பரப்பளவைத் தருகிறது:

$K={\sqrt {\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\left(s-d\right)}}$

இதனை பிரெட்ஷ்ணைடரின் வாய்பாடு அனைத்துக் குவிவு நாற்கரங்களுக்கும் பொதுமைப்படுத்துகிறது:

$K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}$

($\alpha ,\,$ $\gamma \,$ இரண்டும் நாற்கரத்தின் எதிர்க் கோணங்கள்)

ஒழுங்குப் பல்கோணம்

ஒரு குவிவு ஒழுங்குப் பல்கோணத்தின் பரப்பளவானது, பல்கோணத்தின் அரைச்சுற்றளவு, பக்கநடுக்கோட்டின் நீளம் ஆகிய இரண்டின் பெருக்குத்தொகைக்குச் சமமாக இருக்கும்.

வெளி இணைப்புகள்

• Weisstein, Eric W., "Semiperimeter", MathWorld.