அணிகளின் அளவை

கணிதத்தில் நேரியல் இயற்கணிதப்பிரிவில் அணிகள் ஒரு முக்கிய பங்கை வகிக்கின்றன. ஒரு $m\times n$ அணி M இன் நிரல் திசையன்களில் நேரியல் சார்பற்ற திசையன்களின் மிகப்பெரிய எண்ணிக்கை M இன் நிரலளவை (Column Rank) என்றும், வரிசைத்திசையன்களில் நேரியல் சார்பற்ற திசையன்களின் மிகப்பெரிய எண்ணிக்கை M இன் வரிசையளவை (Row rank) என்றும் பெயர் பெறுவன.ஆனால் கூட்டிக் கழித்துப் பார்க்கும்போது நிரலளவையும் வரிசையளவையும் ஒன்றுதான் என்று தெரிய வரும். அது தான் அணி M இன் அளவை (Rank). இது “தரம்” என்றும் வழங்கப்படுகிறது.

இக்கட்டுரையில் எல்லா அணிகளும் மெய்யெண்களை உறுப்புகளாகக் கொண்டவை.

ஒரு அணியின் குறு வரிசைப்படி

ஒரு அணி குறுவரிசைப்படி உருவத்தில் (row-reduced echelon form) இருக்கிறது என்று சொல்வதன் இலக்கணம்:

• எல்லாம் சூனியங்களாக இல்லாத ஒவ்வொரு வரிசையிலும், முதல் சூனியமல்லாத உறுப்பு 1 ஆக இருக்கும்;
• அந்த முதல் உறுப்பு 1 தோன்றும் நிரல்களிலுள்ள மற்ற ஒவ்வொரு உறுப்பும் சூனியமாக இருக்கும்;
• சூனியங்களாகவே இருக்கும் வரிசைகளெல்லாம் எல்லாம் சூனியங்களாக இல்லாத வரிசைகளுக்குக் கீழே இருக்கும்;
• எல்லாம் சூனியங்களாக இல்லாத வரிசைகள் r என்றும், i -வது வரிசையின் முதல் சூனியமல்லாத உறுப்பு உள்ள நிரல் k_i-வது நிரல், i = 1,2, ..., r என்றும் கொண்டால், k₁ < k₂ < ... < k_r.

எடுத்துக்காட்டக, கீழே உள்ளது ஒரு $7\times 10$ அணியின் குறுவரிசைப்படி:

${\begin{pmatrix}0&(1)&2&0&2&0&0&0&0&2\\0&0&0&(1)&-1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&(1)&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&(1)&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&(1)&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&(1)&3\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}}$

இதன் உறுப்புகளை இடதுபுறமும் கீழேயும் எல்லாம் சூனியங்களாக இருக்கும்படி ஒரு பிரிப்புக்கோடு (செங்குத்துக் கோடுகளாலும் படுக்கைக் கோடுகளாலும் ஆனது) போடப்பட்டால், அதனுடைய திருப்பங்களிலெல்லாம் 1 என்ற உறுப்புதான் இருக்கும். அவையெல்லாம் அடைப்ப்புகளுக்குள் காட்டப்பட்டிருக்கின்றன். இத்திருப்பங்களுக்கு படிகள் எனப்பெயர்.

தேற்றம்: நிரலளவை = வரிசையளவை

இது பல சிறு சிறு முற்கோள்களிலிருந்து வருகிறது.

1. மூன்றுவித தொடக்கநிலை வரிசைச்செயல்களின் மூலம் எந்த அணி A யையும் குறுவரிசைப்படி B ஆக மாற்றலாம்.

2. ஒரு அணி குறுவரிசைப்படி உருவத்தில் இருந்தால், அதன் வரிசையளவை, எல்லாம் சூனியங்களல்லாத வரிசைகளின் எண்ணிக்கையே.

3. ஒரு அணியின் வரிசையளவை அவ்வணியின் குறுவரிசைப்படியின் வரிசையளவையே. (இதன் நிறுவலில் முக்கிய கருத்து: தொடக்கநிலை வரிசைச்செயல்கள் வரிசையளவையை மாற்றாது)

4. ஒரு அணி குறுவரிசைப்படி உருவத்தில் இருந்தால்,அதனுடைய நிரலளவை அதன் படிகளின் எண்ணிக்கையே.

5. ஒரு அணியின் நிரலளவை அவ்வணியின் குறுவரிசைப்படியின் நிரலளவையே. (இதன் நிறுவலில் முக்கிய கருத்து: தொடக்கநிலை வரிசைச்செயல்கள் நிரலளவையை மாற்றாது)

6. குறுவரிசைப்படி உருவத்தில் உள்ள அணியில், படிகளின் எண்ணிக்கையும் சூனியங்களல்லாத வரிசைகளின் எண்ணிக்கையும் ஒன்றே.

துணை நூல்கள்

• Serge Lang. Introduction to Linear Algebra. 1986. Springer Science, Inc. New York. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-387-96205-0.
• V. Krishnamurthy, V.P. Mainra & J.L. Arora.An Introduction to Linear Algebra. 1976. Affiliated East West Press PVT Ltd. New Delhi. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 81-85095-15-9